Metode statistice de control in aprovizionare, productie si receptie a produselor

Metode statistice de control in aprovizionare, productie si receptie a produselor

1. Evolutia instrumentelor statistice si contributia acestora in tratarea cantitativa a calitatii

Relevata in anii '30 ai secolului nostru de catre W.A.Shewhart, aplicarea metodei statistice in controlul calitatii cunoaste in timp, pe masura aprofundarii metodei stiintifice ca atare, dar si pe masura evolutiei abordarilor manageriale ale cantitatii ,o dezvoltare de natura extensiva si intensiva

Instrumentul teoretic chemat sa rezolve in etapa moderna problema controlului calitatii l-a constituit in mod natural teoria probabilitatilor si statistica matematica, aceasta din urma dovedindu-se a fi de fapt stiinta luarii deciziilor in conditii de incertitudine. Problema controlului calitatii este in esenta o problema de decizie-accepta sau respinge loturile produse, regleaza procesele tehnologice la un moment dat -care trebuie rezolvat in conditii de incertitudine-informatie partiala asupra loturilor sau proceselor si existenta uneori factori care variaza intre limitele cunoscute cu o anumita probabilitate.

Teoria probabilitatilor creata de B. Pascal ( 1623-1662), P.Fermat (1601-1665) si de Chr.Huygens (1629-1662), continuata de J. Bernoulli (1654-1705),P.S.Laplace (1749­1827) si K. F. Gauss (1777-1855) prin problemele de combinativa si evidentierea si analiza matematica a reparatiilor pune bazele statisticii moderne, initial concentrata pe probleme de demografie. Cu toate ca industria manufacturiera este inlocuita treptat de marea industrie, probabilistii si statisticienii perioadei nu au sesizat posibilitatile teoriei probabilitatilor in rezolvarea unor probleme din practica industriala.

De abia in 1846, un ,matematician rus -V.M.Ostrogodski (1801-1861), in articolul sau ''In problema probabilitatilor'', abordeaza problema controlului calitatii materialului in vrac.

Primele incercari de aplicare practica a teoriei probabilitatilor si statisticii matematice dateaza din anul 1900, cand E. C. Molina de la Bell Telephone Laboratoris (BTL) a elaborat unele scheme de esantioane in vederea controlului de receptie. Deja, pe la 1920 in BTL se crease un departament de cercetare si proiectare al firmei Western Electric din New Jersey, care a jucat plan mondial rol de pionierat in aplicarea metodelor statistice in industrie.

Specialistii de aici introduc in literatura de specialitatea notiunea de AOQL (Average Outgoing Qualiti Limit-limita calitatii medii dupa control) -ca expresie a maximului admis pentru procentul mediu de produse defecte in cadrul loturilor furnizate, in ipoteza ca loturilor respinse sunt supuse unei trieri, in urma careia, teoretic, sunt indepartate produsele cu defecte.

Controlul de receptie nu rezolva exhaustiv problema economica-simplifica controlul, identifica rebuturile, dar prea tarziu, neintervenind in procesul de productie propriu-zis.

In anul 1924 inginerul Walther A. Shewhart va pune bazele teoretice ale controlului static de fabricatie (asa-numitul control preventiv sau de flux).

Principiul pe care-l impune prin aceasta este acela ca in primul rand calitatea trebuie creata si apoi controlata, in acest scop controlandu-se procesul de productie insusi. De aceea, trebuie detectate si indepartate cauzele care dau nastere la perturbari ale procesului tehnologic. In esenta el spunea ca intrucat influenta inductiva este doar probabila, adica repetarea oricarei operatii, chiar daca este facuta in conditiile relativ identice, nu poate furniza aceleasi rezultate, este necesara o metoda prin care sa poata stabili in ce masura variabilitatea observata nu trebuie lasata la intamplare .

Un aspect foarte important pe care Shewhart il urmareste este respectarea conditiilor de economicitate, conditii care capa adesea din preocuparile imediate ale statisticienilor.

Preocuparile militare din timpul celui de-al doilea razboi mondial si ulterioare acestuia au avut si o latura pozitiva : adancirea cercetarilor teoretice cu privire la aplicarea statisticii in crearea si controlul calitatii si extinderea acestor aplicatii. Primele tabele de lucru statistic, ca si primele standarde in domeniul sunt initiate de grupuri de experti militari. Odata creata posibilitatea prin existenta unei baze teoretice solide, deopotriva validata in practica, dezvoltarea economica a deceniilor cinci, sase, sapte a impus metodele de control statistic al calitatii ca o necesitate obiectiva.

In aceasta perioada, pe fondul innoirii si largirii continue a ansamblului conceptual referitor la calitate - abordarea sa in firma si societate, tratarea sa prin metode stiintifice moderne de analiza a informatiei - tehnicile statistice capata relevanta si importanta mereu sporite, menite fiind sa asigure bagajul informational necesar controlului calitatii in toate fazele ciclului de fabricatie-pe orizontala-si la toate nivelurile de practica si decizie-pe verticala.

''Educatia in controlul calitatii -arata K. Ishikawa in 1975- trebuie desfasurata larg si profund, la toate nivelurile, pentru toti salariatii intreprinderii, de la director pana la muncitor, nu numai in ceea ce priveste ideile, dar si metodele controlului statistic al calitatii''.

Plecand de la premiza ca nu este posibila tinerea sub control a calitatii fara utilizarea unor metode statistice (95% din problemele referitoare la calitate rezolvandu-se cu ele), el clasifica aceste metode in trei categorii, in functie de dificultatea aplicarii lor.

(tabelul 1.)

Tabelul 1 : Metode statistice pe ntru controlul calitatii

In opinia sa, metodele statistice intermediare si avansate sunt destinate specialistilor, in timp ce metodele statistice elementare (considerate ,,instrumente de baza'' ale calitatii) ar trebui sa fi insusite de intregul personal. Acest punct de vedere releva inca o data specificul conceptiei japoneze fata de calitate, ca preocupare permanenta a tuturor -company wide quality control - si nu doar apanajul specialistilor, asa cum a fost privita ea initial in economiile occidentale.

Fara sa fie neaparat o expunere completa a contributiei metodelor statistice in tratarea calitatii sau o delimitare precisa a acestora fata de implicatiile altor ramuri moderne ale stiintei, viziunea lui Ishikawa, expusa inca din anii '50 se constituie intr-un

Henri Mitonneau- O noua abordare in managementului calitatii. ANFOR 1989

punct de vedere relevator pentru evaluarea impactului statisticii in tratarea informatiei privind calitatea.

Abordarea calitatii fiind pana la urma un proces continuu si laborios de culegere, prezentare si analiza a informatiei despre diferitele moduri de manifestare ale acesteia, tehnicile si instrumentele oferite de stiinta in acest scop, in sensul adaptarii si perfectionarii lor in timp, s-au constituit in preocupari permanente ale specialistilor.

Fiind utilizate in trei scopuri esentiale :

Ordonarea si sintetizarea datelor referitoare la calitate;

Decizii referitoare la calitatea loturilor de produse pe baza analizei esantionilui prelevat;

Controlul bunei functionari a unui proces in scopul asigurarii capacitatii acestuia de a obtine in mod constat nivelul de calitate solicitat, tehnicile si instrumentele clasice utilizate astazi in managementul calitatii, sunt preluate in cea mai mare parte din statistica - ca stiinta fundamentala ce ofera metode de tratare a datelor numerice caracteristice fenomenelor economice.

Bazandu-se pe fundamentul matematic a functiilor de repartitie, pe instrumentele proprii de tratare descriptiva a informatiei (grafice), de inregistrare si prelucrare primara a acesteia (fise de inregistrare - calcul a principalilor indicatori statistici de caracterizare a seriilor de date), statistica ofera astazi un instrumentar stiintific foarte elaborat, standardizat in cea mai mare parte, ce se poate compartimenta dupa scopul urmarit in doua mari domenii de aplicabilitate:

Metode privind controlul proceselor de fabricatie ;

Metode privind controlul de receptie a produselor.

2. Metode statistice privind controlul proceselor de fabricatie - cateva repere teoretice si practice

Metodele privind controlul proceselor de fabricatie vizeaza pe de o parte analiza capabilitatii proceselor, iar pe de alta parte stabilirea unor limite - criterii de control curent si de dirijare a proceselor.

Definind capabilitatea ca o masura a preciziei cu care procesul realizeaza caracteristicile de calitate urmarite, metoda statistica va trebui sa aprecieze performantele utilajelor de a realiza o incadrare corespunzatoare a campului de imprastiere (acolo undecaracteristica de calitate ia valori) in campul de toleranta (acolo unde caracteristica de calitate trebuie sa se incadreze conform normelor de calitate).

Analiza capabilitatii necesita efectuarea unor demersuri premergatoare, avand drept

scop :

Stabilirea caracteristicii sau ansamblului de caracteristici ce urmeaza a fi controlate (ca detinand importanta majora in definirea calitatii globale a produsului) ;

Verificarea stabilitatii procesului de productie;

Determinarea parametrilor pe baza carora se va efectua controlul.

In timp ce primul obiectiv se rezolva, de obicei, pe baza unor tehnici de tratare descriptiva a datelor - grafice, dintre care cea mai utilizata este diagrama Pareto, celelalte doua obiective se ating prin aplicarea unor metode complexe, analitice, diferentiate dupa tipul productiei tratate^[1] :

Pentru procese de productie de productivitate medie - metoda sondajulu i de volum mare

Pentru procese de productivitate mare - metoda sondajului de volum redus.

In cazul metodei sondajului de volum mare se lucreaza pe un esantion de dimensiune cuprinsa intre 100-300 exemplare, aparand necesara verificarea omogenitatii datelor in vederea estimarii corecte a parametrilor statistici specifici procesului de productie.

Metoda sondajelor de volum redus (a probelor curente) presupune relevarea mai multor probe (esantioane, cca. 25) de dimensiuni mici (4-10 elemente pentru caracteristici masurabile si 20-60 elemente pentru caracteristici atributive), fiind necesara verificarea omogenitatii sondajelor din punct de vedere al mediilor si al dispersiilor.

Verificarea normalitatii repartitiei experimentale se va realiza in ambele cazuri prin teste specifice, in al doilea caz pentru fiecare proba in parte.

Determinarea fractiunii defective probabile p - probabilitatea ca valorile caracteristicii x sa depaseasca limitele campului de toleranta - va caracteriza precizia utilajului, specialistii considerand ca un proces poate fi apreciat ca fiind controlabil statistic daca p

p=P(X<Ti ;X>Ts)=1-P(Ti< X£ Ts)=1-[F(Ts)-F(Ti)], unde

T_i, T_s = limite de toleranta inferioara i si superioara s

F(x)=P(X <x) este functia de repartitie specifica a caracteristicii X

Pentru o caracteristica de repartitie normala:

P=1-[f (zs)-f (zi f (zs), unde zs=(Ts-Ti)/2 a

s=abatere medie patratica a caracteristicii studiate

In practica, se va putea determina fie fractiunea defectiva probabila p, pornind de la campul de toleranta prescris, fie se va putea planifica un camp de toleranta T=2z_p*s, unde zp este variabila Laplace tabelata in functie de fractiunea defectiva p aleasa.

Pe baza normalitatii repartitiei se poate aproxima si intervalul de imprastiere a caracteristicii produselor fabricate :

L» 6s

Li=3a ; Ls=3s

deoarece se demonstreaza ca 99,7% din valorile inregistrate intr-o observare se gasesc in acest interval (teorema celor 3 s a lui Cebisev

Intr-adevar, daca X este o caracteristica cu repartitie normala cu parametrii m si s², folosind proprietatile acesteia (simetria in x=m) avem :

Xe N(x,m,a ) si a,be R :

P = liX(x ;m ,a >dx = Fo (b-i/a) - Fo (a-m/a) P = 2Fo(e/a

Daca e=3a^

P = 2Fo a /a )-1 = 2Fo

Metodele de control curent - de dirijare pe flux - vor avea in vedere stabilitatea procesului - evidentierea faptului ca se afla numai sub influenta unor cauze de productie intamplatoare sau si sub impactul unor cauze de productie sistematice, care induc abateri de la specificatii, trebuind depistate si eliminate.

Stabilitatea se evalueaza din doua puncte de vedere :

Ca pozitie a centrelor celor doua campuri de interes pentru caracteristica studiata: campul de toleranta si campul de imprastiere, ceea ce caracterizeaza reglarea masinii, si poate fi pusa in evidenta cu ajutorul indicatorilor statistici de pozitie -medie, mediana, mod ;

Ca marime a celor doua campuri - incadrarea campului de imprastiere in campul de toleranta - ceea ce caracterizeaza precizia masinii si poate fi evidentiata prin indicatori statici de imprastiere (variatie) : abaterea medie liniara sau patratica, amplitudine, coeficient de variatie.

Procesul de productie va fi considerat stabil, atunci cand parametrii statistici ce masoara centrul de grupare (reglajul), respectiv imprastierea (precizia) raman constanti in timp.

Verificarea corelata a celor doua deziderate presupune folosirea unor metode combinate de control :

Metoda mediei aritmetice si abaterii mediei patratice ;

Metoda mediei aritmetice si amplitudinii imprastierii ;

Metoda medianei si amplitudinii imprastierii.

Mersul procesului de productie poate fi, astfel, apreciat cu ajutorul probelor formate dintr-un numar mic de piese, luate in ordinea fabricarii lor, extrase intamplator.

Indicatorul probei nu va coincide decat intamplator cu indicatorul intregului lot, insa, in cazul stabilitatii procesului, va trebui sa apartina unor zone de control (zona de incredere sau zona erorilor admise).

Aceasta presupune ca intr-o etapa initiala sa putem stabili astfel de limite pentru parametrul reglarii si pentru cel al preciziei (imprastierii).

In general, se aleg ca probabilitati de lucru 99,8% pentru limitele de control si 95% pentru limitele de supraveghere, ceea ce corespunde unor fractiuni defective de a de 0,2%, respectiv 5%.

O schema sintetica a determinarii acestor limite in functie de parametrul statistic ales prezentam in fig. 2.

Reprezentand pe o axa pozitionarea ca valoare ordonata a limitelor de control si de supraveghere, remarcam ca pentru parametrul imprastierii nu avem limitare inferioara, precizia putand fi oricat de mica. (fig. 2.a si b).

Fig. 2. Pozitionarea limitelor de control si de supraveghere

TI LCI LSI TC LSS LCS TS m(x)

Fig. 2.a. Pozitionarea limitelor de control si de supraveghere pentru parametrul reglajului

LSS LCS

Fig.   2.b. Pozitionarea limitelor de control si de supraveghere pentru parametrul preciziei

LCI - limita inferioara de control LCS - limita superioara de control LSI - limita inferioara de supraveghere LSS - limita superioara de supraveghere TI - limita inferioara a campului de toleranta TS - limita superioara a campului de toleranta TC - Centrul campului de toleranta

Demersul practic efectiv consta in prelevarea periodica din proces a unor probe de volum n, inregistrandu-se valorile efective atinse de caracteristica pentru fiecare produs i din cel n : X₁,_,X_n.

Calculandu-se pentru fiecare proba indicatorii statistici necesari (medie sau mediana, abatere medie patratica sau amplitudinea imprastierii), si comparandu-se cu limitele de control/supraveghere stabilite aprioric, in etapa studiului preliminar de capabilitate, se identifica in ce masura procesul corespunde sau nu ca reglaj si precizie, luandu-se masuri suplimentare de supraveghere in cazul in care parametrii se gasesc in intervalul dintre limitele de supraveghere si cele de control, oprindu-se si identificandu-se cauza perturbatoare, daca parametrii se gasesc in afara limitelor de control.

Tabelul 2.. Combinatii ale starilor procesului de fabricatie ca precizie si reglaj

□proces stabil □ proces la limita stabilitatii

□ proces instabil

Fig. 3. Calculul limitelor de control si de supraveghere pentru controlul curent pe flux

Metoda mediei aritmetice

Metoda medianei

(Me)

LCI = TC - z_a LCS = TC + z_a ■ LSI = TC - 1,96 ■ LSS = TC + 1,96 ■

LCI = TC - za

n

s

LCS = TC + za ■

s s s

^vn

s

n

Controlul preciziei

Metoda abaterii medii patratice

(S,)

s

LSS = X<>_j975jii) ■

Vn -

Nota : n - volumul esantionului; s - abaterea medie patratica este evaluata prin studii precedente; a - prag de semnificatie ales ; de obicei ag ; z - valoare tabelata a functiei Laplace

X(1-a/2,n) = -sjx a n) = valoare tabelata din tabelul functiei X²

t_a/2^ = valoare tabelata din tabelul functiei Student Figura 4. Algoritmul controlului curent

al procesului

Stabilrea riscului (pragului de semnificatie) a si a volumului probei n

Alegerea parametrului parametrului

control si a limitelor de parametrii stabiliti

Prelevarea, masurarea si urmarite pentru

valorii caracteristicii element al probei

Calcularea indicatorilor statistici (mediana selectiei Me), dispersia imprastierii R) si reprezentarea

Procesul este instabil, se opreste se identifica cauzele

STOP

Fisele de control statistic sunt instrumente practice prin care se aplica aceste metode in intreprinderi, diagramele de control constand in reprezentarea grafica a indicatorilor statistici urmariti comparativ cu limitele de control/supraveghere admise.

O schema logica a algoritmului realizarii controlului curent al procesului de fabricatie prezentam in fig. 4.

Trebuie sa adaugam faptul ca, plecand de la teoria fiselor de control create de W.A. Shewhart, multi autori reconsidera utilitatea acestora mai ales in faza de analiza a procesului si de instalare a starii de control statistic.

Scopul construirii fiselor (X, R), in aceasta perioada consta in evidentierea asa-numitelor ,,comportari nenaturale'' ale acestuia, precum si in gasirea unor actiuni corective. Observam ca aceasta relevare a fiselor, desi poate fi cuantificata statistic, isi are cauzele in procesul insusi si ca urmare, actiunea corectiva - privita ca o interventie la nivelul centrarii si/sau precizarii procesului-este o problema pur tehnologica.

De aceea, ,,nici o lucrare de control statistic al calitatii nu poate furniza cunoasterea necesara a diferitelor procese de fabricatie. Totusi o anumite indicatie poate fi data asupra aspectelor statistice de interpretare a fiselor de control cu scopul de a detecta cauzele de variatie excesiva''.

Subliniem de asemenea, limitarea practica a acestor fise ca urmare a caracterului lor unidimensional, in sensul ca se pot aplica numai la o s ingura caracteristica masurabila a reperului luat in studiu.

Datorita caracterului mult mai complex al calitatii produselor moderne -determinata printr-un ansamblu de caracteristici - fisele de control vor fi utilizate numai in cadrul unei analize specia le a unor caracteristici de calitate care fac obiectul unui program separat de investigatie sau in cazul in care procesul tehnologic nu dispune de mijloace automatizate de reglare iar posibilitatea de culegere si prelucrare a datelor in timp util se poate face fara dificultate.

De asemenea, in instituirea cu succes a unei astfel de cercetari nu trebuie uitata componenta de asigurare metrologica, una din cauzele comportamentului nenatural al fiselor de control fiind eroarea de masurare.

O forma specifica de fisa de control care evita in primul rand dezavantajul legat de calcul si care se poate constitui intr-un instrument de autocontrol este fisa de control pentru valori individuale. Aceasta presupune folosirea directa a valorilor individuale masurate (fara calculul statisticilor de selectie), prin reprezentarea acestora pe diagrama de control.

Procesul este considerat normal (satisfacator scopului propus) daca are loc una din situatiile :

In fiecare grup de n valori inregistrate, toate valorile sunt cuprinse intre limitele de supraveghere ;

In fiecare grup de n valori, nici o valoare nu cade in afara limitelor de control, cel mult o valoare cade in fiecare din zonele de atentionare, restul in intervalul de supraveghere.

Procesul este considerat nesatisfacator daca are loc una din situatiile :

O valoare iese din limitele de control;

Doua valori din acelasi grup cad in zone de atentionare

Fara sa necesite efectuarea unor calcule, ci doar masurare si reprezentare grafica pe fisele standardizate, urmate de anuntarea tehnologului de linie in cazul constatarii unor abateri de la regulile prin care procesul este considerat satisfacator, acest procedeu se constituie intr-un instrument efectiv al autocontrolului.

3. Metode statistice de control final - aspecte sintetice privind instrumentele cu cea mai larga aplicabilitate la receptie

Metodele de control final sau receptie asigura instrumentarul stiintific si practic pentru a putea realiza controlul calitatii materiilor prime, materialelor si reperelor aprovizionate ca elemente de intrare in fluxul de fabricatie si a produselor finale, ca elemente de iesire ale procesului, prin esantionare.

Controlul de receptie prin esantionare reprezinta in esenta o forma particulara a testarii ipotezelor statistice, scopul sau fiind acela de a decide daca fractiunea defectiva P (proportia de produse necorespunzatoare) nu depaseste un anumit nivel critic P stabilit in functie de considerente de ordin economic. Aceasta inseamna ca, pe baza verificarii produselor din lot, trebuie sa se decida daca este adevarata ipoteza :

H₀ :P£ Po== lotul se accepta

Hi:P>Po= lotul se respinge

Deoarece testarea se face pe baza unui esantion n<N, extras intamplator pe baza unui parametru de esantionare, orice decizie cu privire la lot (acceptare sau respingere) comporta un anumit risc de a fi eronata, in doua cazuri :

Se respinge un lot care contine o fractiune defectiva P<P definit ca eroare genul I sau riscul furnizorului - a -

Se accepta un lot care contine o fractiune defectiva P>P₀, caz definit ca eroare de genul II sau riscul beneficiarului - b -

Facand o legatura intre aceste riscuri si efectele lor economice, specialistii opereaza cu inca doua variante ale fractiunii defective P si P

P₁g [0,P₀] si este acea valoare a fractiunii defective pentru care calificarea drept necorespunzatoare a lotului determina pierderi economice maxime ;

P₂g |P₀,1] si este acea valoare a fractiunii defective pentru care decizia de acceptare a lotului determina pierderi maxime.

Sinteza elementelor necesare efectuarii esantionarii pentru receptia loturilor se regaseste sub forma planului de control care contine : riscurile asumate de partenerii controlului, nivelul calitatii productiei, criteriile de decizie.

Privita global, prin prisma scopurilor specifice, relatia producator - beneficiar apare ca antagonista. Totusi, acolo unde functioneaza un sistem de control de receptie, prin aceasta intelegand incorporate chiar si aspectele juridice implicate, intre cele doua verigi se realizeaza un feed-back informational continuu, care permite imbunatatirea graduala a calitatii.

Un astfel de contract ar trebui sa includa:

Metodologia comuna de lucru in verificarea propriu zisa ;

Tratarea loturilor respinse ;

Eventuale recompense pentru o calitate superioara celei specificate ;

O notiune esentiala in contract este nivelul de calitate acceptabil - AQL- definit ca procent maxim de defective care pentru scopurile controlului poate fi considerat satisfacator ca o medie a procesului tehnologic.

In termenii probabilistici prezentati anterior nivelul de calitate acceptabil este fractiunea defectiva P pentru care probabilitatea de acceptare este foarte mare, cel putin 1-a , in timp ce pentru fractiunea defectiva P (pentru care probabilitatea de acceptare este foarte mica, cel mult b) s-a introdus notiunea de fractiune defectiva tolerata (LQ).

Metodele de control la receptie fiind in cea mai mare parte standardizate, valoarea AQL este fundamentala in aplicarea majoritarii standardelor de control statistic al calitatii, furnizand in ultima instanta baza reala pentru acceptarea unui numar cat mai mare de loturi de calitate corespunzatoare si respingerea unui numar cat mai mare de loturi necorespunzatoare calitativ.

Desi literatura de specialitate da posibilitatea utilizarii unui evantai extrem de vast de procedee de control receptie, foarte putine sunt precizarile referitoare la modalitatile concrete de fixare a indicatorului AQL.

In standardul ABCSTD 105 D (ISO 2859) punctul de plecare pentru cele mai multe standarde nationale, se recomanda ca fixarea marimii AQL sa se efectueze de comun acord intre parteneri sau ca valoarea AQL sa fie lasata la un nivel dat de catre ,,autoritatea responsabila''.

Acest fapt a determinat in practica diferite pozitii arbitrare in impunerea unui AQL fara sa se tina seama de posibilitatile reale ale producatorilor, universal valabile pentru toate caracteristicile de calitate, indiferent de importanta lor sau cat mai ridicat pentru a justifica calitatea necorespunzatoare a nivelului furnizorului.

Unele lucrari de specialitate ofera solutii privind stabilirea AQL cum ar fi :

Utilizarea unui AQL cu 20% mai mic decat valoarea fractiei defective a procesului, obtinuta printr-o cercetare statistica speciala ;

Alegerea lui AQL in baza unor considerente economice (raportul dintre cheltuielile de control unitar, C_u, si cheltuielile unitare de penalizare cu defectivele, Cp.

In conceptia lui Feigenbaum^[2] : AQL »

N= volumul lotului

Cel mai natural, insa, se va fundamenta AQL pornind de la posibilitatile reale ale furnizorului evidentiate cu ajutorul investigarii periodice a procentului de rebuturi din loturile de produse prin fisa de control p. Algoritmul de utilizare a acestui instrument il prezentam in figura 4.

Cand nu se detin informatii asupra productiei trecute, asa cum recomanda STAS 3160/1-84, se poate utiliza un ghid in care valorile AQL sunt date in functie de numarul caracteristicilor de calitate dintr-o anumita clasa de gravitate, urmand ca pe masura obtinerii informatiilor necesare sa definitiveze aceste valori.

Presupunand ca s-a efectuat analiza preliminara, fixandu-se de comun acord intre parti valoarea AQL, beneficiarul este interesat in elaborarea unui plan de control, adica, an alcatuirea unei proceduri care sa specifice :

Dimensiunea esantionului din lot investigat n;

Care este conditia de acceptare a lotului, respectiv de respingere R = A + 1

A= numarul de acceptare 0£A<n<N ;

R = numarul de respingere.

Aceste deziderate se pot fundamenta in functie de tipul controlului - prin masurare sau prin atribute - si de tipul de prelevare - simplu, dublu, multiplu si secvential.

Planul de control simplu se bazeaza pe posibilitatea matematica de a exprima probabilitatea ca in n extractii sa obtinem d rebuturi cu o repartitie hipergeometrica, aproximata in anumite conditii (pentru P £0,1 ; n>30) cu o repartitie Poisson sau x². aceste proprietati stau la baza unor tabele de calcul - monograme.

Planul de control secvential este caracterizat prin faptul ca numarul unitarilor care se controleaza nu este dinainte fixat, decizia fiind luata dupa verificarea fiecarei unitati. Deci, ceea ce variaza acum este volumul esantionului n, valorile de acceptare, respectiv de respingere, modificandu-se liniar, in functie n si putand fi determinate :

An = Pn+h

Rn = Pn+h

g ^P1

- P

^P

P₂ P₂

^g

h =

a

P₂ P₂

g - g

P - P

K

b

a

P₂ P₂

g g

P - P

START

Stabileste nr.probe k£ 10, si volumul acestora ni (20£ ni

_I

Preleveaza si controleaza total

j_

Calculeaza procentul de defective

d.

p_i =-l_x

n.

_T

Calculeaza procentul mediu de defective pe loturi

^p

_I

Calculeaza limitele de control statistic

'P P

LCS_i=p

n

LCt = p

p - p)

Se alegeAQL< p

Procesul de productie defectuos. Este

necesara interventia.

STOP

Reprezentarea grafica (figura ) da cosibilitatea controlului prin diagrama de control pe un sistem de coodonare xOy, unde pe abscisa se reprezinta numarul de ordine al unitatii extrase n si pe ordonata numarul de rbuturi d gasita printre cele n unitati. Verificarea continua pana cand punctele de ordonate (n,d) se situeaza fie in domeniul de acceptare, fie in cel de respingere.

d

Domeniu de respingere

Domeniul de acceptare
>

h

n

Fig.   Grafic pentru ilustrarea schemei de control secvential

O varaianta a acestei metode este verificarea pri regula scorului. Pentru accelerarea procesului de luare a deciziei este necesar ca numarul produselor controlate sa se limiteze printr-o valoare superioara-«o- asfel incat sa existe suficienta siguranta ca dupa verificarea lor, se va lua decizia finala, Acest demers este asigurat prin metoda trunchierii secvntiale.

Planurile de control multiplu se bazeaza pe extragerea si controlarea unor subesantioane.

Prezentand o schema logica de aplicare a planului de control multiplu (fig.3.6.) remarcam in acelasi timp avntajele evidente din punct de vedere al accsebilitati si rapiditati utilizarii unor scheme de control standardizate pentru diferite valori ale lui AQL si dimensiuni diferite ale lotului de controlat in variante de control redus, normal si server (STAS 3160/2-84).

Control prin masurare va folosi acelasi tehnici de esantionare-simpla, multipla sau secventiala, cu proprietatea demonstrata ca probabilitatea ca variabila masurata sa se incadreze in campul de toleranta :

P(TI<x£TS)=1-2 (zp),unde Zp=- , de unde verificarea ipotezei intiale

c

Hi:P< Pi cu H :P > P <=> Hi:zp > Zpi si H :zp< Zp2

Parametri care stau la baza luarii deciziei sunt N = marimea esantionului si R = factor de acceptare (cazul limita al acceptari ipotezei H₁).

K

Zp z_p za

^Za + ^Z p

Cand nu se cunoaste abaterea standard a caracteristicii c se estimeaza cu abaterea standard a esantionului

N =

k² ) z + z _p
^p

^z p ^z p J

Cand se cunoaste abaterea standard c

z , - z ₂

Lotul considerandu-se acceptat cand media de selectie x apartine inventarului de control :

TI+k s< x < TS-k s

Asa cum se deduce din formula de calcul a dimensiunii esantionului n, cunoasterea abaterii standard c printr-un studiu preliminar, prezinta avantajul reducerii produselor controlate, la aceasta adaugandu-se usurarea procesului de decizie propriu-zis, nemaifiind necesara calcularea abaterii standard pentru fiecare esantion.

Deosebit de eficiente in practica (ca operativitate) in stabilirea parametri planului de control odata ce nivelul AQL a fost negociat, se dovedesc a fi tabelele master samppling tables (MST), atat in varianta controlului simplu, cat si in varianta controlului secvential multiplu.

De notorietate pentru teoreticienii si practicienii domeniului, alaturi de standarde, sunt sistemele de control Philips (in care riscurile beneficiarului si furnizorului sunt egale pentru planurile de control simple sau duble, sisteme Dodge -roming bazat pe notiunea de calitate medie de control (AOQL) sau sistemul Cucconi pentru esantionarea simpla. Pana in preajma acestui secol stiinta a trait iluzia mecanicista. Orice schema determinista, in ultima analiza cauzala, isi gasea o interpretare mecanica. Idealul stiintei era aceasta insasi era aceasta 'mecanica universala '.

Astazi, metoda statistica vine sa serveasca aceluiasi ideal de cunoastere totala, cu modestie si intelepciunea unei acumulari de secole, facand loc si acelor necesare limite ale cunoasterii. ''Cu evaluari tipice, cu frecvente, cu fluctuatii, cu corelatii si cu indici, cu cateva scheme tipice, statistica spera sa dea imaginea lumii, facand sa rareasca pentru om de stiinta iluziile pe care le-e trait mecanicismul veacului trecut '' (Octav Onicescu -1933). Fig.6.6. Schema logica

START

a aplicarii planului multiplu

de control

Alege P₁, P₂, a, b

_I

Determina p, n, n

Procedura de trunchiere a controlului secvential

_o

Alege numarul grupelor 5£ l

Determina marimea gruperi n, a.i: n n₀ l n,

n k k i N, n > P P

Se determina A_1r^ A_2n,_, A _{t n}

Se recalculeaza A_tn, R_t

A ¹ = ^Afn ^R In i
^A In

R

= An + ^Rln

ⁿ

i = 1

4. Principalii indicatori de fiabilitate utilizati in controlul fiabilitatii

Prin indicator de fiabilitate se intelege o masura cu ajutorul careia se exprima cantitativ fiabilitatea sau una din caracteristicile acesteia.

Functia de fiabilitate

Functia de fiabilitate se noteaza R(t), si este definitia prin probabilitatea ca un produs sa functioneze in conditii determinate, fara defectiuni, in intervalul (0, t) R(t) = P (T > t)

Se considera ca la momentul t=0 se incepe experimentarea asupra N(0) elemente de acelasi tip, care lucreaza in conditii asemanatoare, iar la un moment t au ramas in stare de functionare N(t) dintre ele.

Raportul ) reprezinta frecventa relativa a elementelor nedefectate. In cazul cand N(0)

este foarte mare, acest raport tinde catre probabilitatea de nedefectare a elementelor la momentul t Se imparte in continuare intervalul de timp (0, t) intr-un numar mare de subintervale, de marime egala At si se inregitreaza numarul de defectari care apar in fiecare subinterval. Fie n( At)_i numarul de defectari care apar in intervalul (t_i, t_i + A t). Numarul de defectari care apar pana la momentul t este :

t At

n(t)= £ n( At) i 

i

iar numarul de elemente care au ramas in stare de functionare este :

t At

N(t)= N(0) - £ n( At)

i

Pe aceasta baza se determina probabilitatea de nedefectare la momentul t.

t At

R(t) = P(T > t) = foi ⁱ = lim ^N(t)

nV® N ^N N

Proprietatile functiei de fiabilitate sunt urmatoarele : . R(t=0) = 1

R(t ® ¥) = 0

R(t) £ 1

In figura urmatoare este realizata reprezentarea grafica a functiei de fiabilitate⁴ : Fig 7.

A

RB(t)<RA(t)

B

Functia de fiabilitate

Functia de nonfiabilitate, sau functia de repartitie F(t) a timpului de functionare, reprezinta probabilitatea ca un element sa se defecteze in intervalul de timp (0, t)

F(t) = P( T £ t ) lim

n N

Proprietatile functiei de nonfiabilitate sunt urmatoarele :

F(t=0) = 0

F(t ® ¥ ) = 1

0 £ F(t) £ 1

Pe baza datelor statistice, pentru calculul functiei de nonfiabilitate se poate folos i relatia :

F(t) =

n (t N

IsaioManiu A. - Fiabilitatea, sansa si risc, Ed. Tehnica 1986

Fig 8.

F(t)

B

FB(t)<F A(t)

250o

Functia de nonfiabilitate

Densitatea de probabilitate a timpului de functionare

Densitatea de probabilitate a timpului de functionare reprezinta limita raportului dintre probabilitatea de defectare in intervalul de timp (t, t+At) si marimea intervalului, cand At ® 0, si are urmatoarea expresie:

P (t < T t + At)

F(t) = lim

At

Indicatorul de fiabilitate densitatea de probabilitate a timpului de functionare caracterizeaza viteza de reducere a posibilitatilor de functionare fara defectari ale elementelor supuse experimentarii, respectiv, viteza de crestere a defectarii :

dR(t) dF(t)

F(t) =

dt dt

Principalele proprietatea ale indicatorului densitate de probabilitate sunt :

f(t) > 0 (1.27)

Integrand functia intre limitele - ¥si + ¥ se obtine :

f f(t dt = (1.28)

J-m

Prin integrarea functiei intre limitele 0 si t se obtine expresia functiei de nonfiabilitate :

f(t )dt  (1.29)

Prin integrarea functiei intre limitele tsi ¥ se obtine expresia functiei de fiabilitate :

R(t) = [f (t) dt

Rata de defectare

Rata de defectare, notata prin z(t), este limita raportului dintre probabilitatea de defectare in intervalul (t, t+ At), conditionata de buna functionare in intervalul (0, t), si marimea intervalului At, cand A t ® 0 [6], [80].

P (t < T t + At T > t

Z(t) = lim

At

Din punct de vedere statistic, rata de defectare reprezinta raportul dintre numarul de defectari care au loc in unitatea de timp, la momentul t, si numarul de elemente care au ramas in stare de functionare la acel moment :

Z(t) =

N (t) x At

Proprietatile indicatorului rata de defectare sunt urmatoarele :

z(t) =

R (t) 1 - F (t

Curba de variatie a ratei de defectare in functie de timp si raportul celor trei perioade distincte ale acesteia, depinde de exigenta proiectarii si fabricarii, precum si de modul in care se realizeaza exploatarea produsului. Graficul functiei rata de defectare este reprezentat in figura 9.

Fig. 9.

J Perioada defectarilor timpurii (initiala)

Perioada defectarilor de rata constanta

j J Perio adja^defectaTilor

->H-

I

II

III

Rata de defectare

Media timpului de buna functionare

Media timpului de functionare, notata cu m, denumita si media timpului de buna functionare (MTBF), reprezinta valoarea medie a timpului de functionare, care, in cazul produselor nereparabile, reprezinta media timpului total de functionare.

Atunci cand variatia timpului de functionare se exprima printr-o forma analitica , valoarea sa medie nu se calculeaza cu relatia :

t f (t)dt

De asemenea , media timpului de functionare se mai poate calcula cu relatia :

m = j₀ R (t)dt

In cazul cand timpul de functionare se exprima prin valori discrete , timpul mediu de functionare se mai poate determina in modul urmator :

Daca se considera ca t t₂ ,  ,t_i ,.,tN(₀) sunt timpii de viata ai celor N(0) elemente

supuse experimentarii , atunci media timpului de functionare se poate calcula cu relatia :

N

_I

m =  (1.36)

N(0)

Modele statistice utilizate in controlul calitatii si fiabilitatii

In controlul statistic al calitatii si fiabilitatii se folosesc doua tipuri de repartitii de probabilitate :

Repartitii pentru variabile aleatoare discrete ;

Repartitii pentru variabile aleatoare continue .

Repartitii pentru variabile aleatoare discrete

Repartitia binomiala

Repartitia binomiala se poate explica cu ajutorul schemei lui Bernoulli care consta din extragerea unei bile dintr-o urna in care se afla doua tipuri de bile , iar dupa consemnarea

rezultatului , bila se reintroduce in urna , deci realizarea unui eveniment (de exemplu extragerea unei bile de culoare prestabilita ) fiind independenta de realizarea celorlalte evenimente .

Spre exemplificare , se considera un lot de produse format din produse corespunzatoare ( bune B) si necorespunzatoare ( rebuturi sau defecte D ).

Se noteaza probabilitatea de extragere a unui produs defect prin P(D) =p si probabilitatea de extragere anului produs bun prin P( B)=q=1-p.

Se efectueaza prelevari succesive , cu reintroducerea produsului extras inapoi in lot .Variabila aleatoare binomiala a aparitiei produselor rebutate este definita ca fiind numarul produselor necorespunzatoare obtinute pe parcursul a ,,n'' extrageri , si teoretic poate lua valorile 0,1,2,n , evident x fiind o variabila de tip discret. Modul de desfasurare al extragerii produselor din lot este reprezentat in figura urmatoare :

_{AA AA}

_{A A AA}

Prin generalizare se poate construi modelul matematic al procesului extragerii produselor din lot .

Intrucat la fiecare extragere sunt posibile 2 alternative , in general in n extrageri numarul alternativelor posibile este 2ⁿ .

In cea de -a n-a extragere , posibilitatea ca sa apara de n ori evenimentul produs "necorespunzator' (D), conform regulii de inmultire a probabilitatilor este:

P ( n, n )= p

iar probabilitatea aparitiei a n produse corespunzatoare :

P (n, 0) = qⁿ

Probabilitatea ca in n experimente "produsul necorespunzator' sa apara de x ori intr-o anumita ordine :

D, DD B, BB, este egala cu : p q^n-x .

x ori (n-x) ori

Numarul combinatiilor posibile de n produse , in care evenimentul D se x ori , in diferite succesiuni este egal cu C ^. Conform formulei probabilitatii totale , probabilitatea aparitiei a x produse rebutate printre cele neextrase este :

P(n,x) = CI p^x q^n-x (1.39)

Relatia (1.39) reprezinta functia de frecventa pentru repartitia binomiala . Se poate scrie expresia functiei de repartitie F(xo)

A n!

F(x,) =P(x<xo) -T7, 7_|p^x(1-p)ⁿ'^x (140)

x=oX!(n - x)!

Valoarea medie si dispersia variabilei aleatoare binomiale x au urmatoarele expresii :
M(x) =n -p ; D(x) = npq . (1.41)

Repartitia binomiala se utilizeaza la controlul atributiv simplu si secvential al calitatii si al fiabilitatii produselor , pentru aproximarea repartitiei hipergeometrice Acest tip de repartitie de probabilitate este in concordanta cu desfasurarea procesului de control cu inlocuire al fiabilitatii.

Repartitia Poisson

Modelul repartitiei Poisson se poate construi pornind de la legea binomiala in urmatoarele ipoteze [:

p : probabilitatea de aparitie a evenimentului urmarit este mica ;

n : volumul esantionului este suficient de mare astfel incat sa fie indeplinita conditia :

np = l = constant

In aceste conditii : P (n, d) = C ^d_n p^d (1 - p)^{n - d} devine la limita cand n ®

f (d, A A

d!

Acest lucru se poate demonstra astfel :

Facand substitutia p = - in expresia legii binomiale rezulta :

n

(n,d)

A , A ,

d ) n - d _:

AL

d!

n x (n 1)(n d x (n d x (n d x A _n-d n^d x (n d) x (n d x n

A^d n n - x x x.

d! n n Trecand la limita :

.x ^{n d} x ^A)^n-d nn

lim - x -x  x x  ^ ^J-x )^{n d} e ^A

ⁿ®^¥ d! n n n n d

rezulta de aici :

P (n,d) = C ^d_tt p^d (1-p) ^{n d} e ^A f (d, A)

d!

Relatia anterioara defineste functia de frecventa a legii lui Poisson, lege a carui parametrii sunt :

Media : M[x] = l si dispersia : D[x] = l (1.45)

Legea lui Poisson mai poarta numele si de legea "evenimentelor rare', dupa

specificul fenomenelor pe care le descrie, evenimente a caror probabiliste de aparitie este

redusa.

Functia de repartitie a legii lui Poisson este:

F(d,1) = p( x<xo) = e^-1 Y -X x!

Repartitia Poisson se utilizeaza la controlul atributiv simplu al calitatii si al fiabilitatii produselor, pentru aproximarea repartitiei hipergeometrice.

Repartitia hipergeometrica

Se considera schema probabilistica realizata cu ajutorul unei urne care contine N bile, dintre care A bile albe N - A bile negre. Din aceasta urna se fac n (n £ N) extrageri succesive fara sa se puna bila extrasa inapoi in urna.

Se presupune ca dupa n extrageri succesive, bila alba a iesit de a ori, deci cea neagra de n - a ori.

Distributia variabilei a se numeste hipergeometrica, denumire justificata de legatura cu seria hipergeometrica a lui Gauss.

Probabilitatea P _{N n a} ca in n (n £ N) extrageri succesive sa se scoata a bile albe si n - a bile negre este:

C a cn-a

PN, n, a =^CC7^-L d.⁴⁷)

^C N

Unde (0 £ a £A; 0 £ n-a £ N - A)

Acest lucru se poate demonstra usor, pentru ca numarul cazurilor posibile, adica

numarul tuturor grupelor de cate n bile albe este C ⁿ_N, iar acela al cazurilor favorabile, adica

acela al tuturor grupelor de cate n bile continand exact a bile albe este C ^a_AC'_N^ca_A

Rezulta ca probabilitatea Pn _{n a} este data de relatia de mai sus, care este functia de frecventa a distributiei hipergeometrice.

Functia de repartitie a distributiei hipergeometrice este:

*ol

F (N, n; x) = P (x < Xo) = ^{S Pn n A} (1.48)

A=max

n- N- A

unde [xj] reprezinta cel mai mare intreg continut in x₀ si care satisface relatia: [x₀] £ min (n, A)

A

Distributia hipergeometrica se noteaza cu simbolul: H(N, n; p) unde p= -.

N

Legatura repartitiei hipergeometrice cu repartitia binomiala

Atunci cand N: volumul lotului tinde la infinit, repartitia hipergeometrica se poate aproxima cu ajutorul repartitiei binomiale.

(NP )! (N - NP )!

P_Nna a![NP - a]! (n a)![N - NP - (n - a

N! =

n!(N - n)!

n! (NP a )(NP a a)[(N NP (n a ][N NP (n a n a]

_p N){p _{p NH1 -p n - a -1}

a!(n a)! f_{1 -} J_ L _- n

N J { N

Conducerea si gestiunea calitatii produselor

Trecand la limita pentru n®¥ se obtine :

^lim P ^n! p^a p)^n-a

N ^n,a a!(n - a)! unde 1- p q

Media de dispersia repartitiei hipergeometrice au urmatoarele expresii :

N _{- n}

M(x)=np ; D(x)=npq--

N -

Repartitii pentru variabile aleatoare continue Repartitia normala

Majoritatea caracteristicilor de calitate ale produselor se repartizeaza dupa legea normala de distributie.

De aceea , aceasta repartitie de probabilitate are o importanta deosebita in controlul statistic al produselor.

Repartitia se noteaza prin N(x,m,a)si are functia de densitate de probabilitate : f (x) =-L= e ^±2S^, (xeR,s>0)

Functia de repartitie a unei variabile aleatoare distribuita dupa legea normala este data de :

r ^0^T~

F(x₀) = -= f e ^2a2 dx

Parametrii repartitiei sunt m si s.

Valoarea medie si dispersia unei variabile aleatoare x normal distribuita sunt:

M (x):

x- m)²

^{f x ■ e  a 2 dx = m}

D( x):

a

GO

x -m

^{f (x-m)2 x e a2 dx a}

42P

Daca se introduce variabila standardizata, z corespunzatoare g(z) se scrie:

(x - m)² s

atunci functia de frecventa

g z =f (x)

dz

x=m+s xz

care, pentru m=0 si a=1 este:

z

g (z,0,1) =  . e unde - ¥ < z < ¥.

Distributia normala cu functia de frecventa g(z, 0, 1) este distribuia normala standardizata ai carui parametrii sunt 0 si 1. Ea se noteaza N(0, 1).

Fig. 11

m-3a m-2a m-s m m+a m+2a m+3s

Graficul functiei de densitate de probabilitate pentru repartitia normala Expresa functiei de repartitie este:

G( z

e ² dz = +-jL= e ² dz

unde

z z

F(z ^=) e dz

este functia integrala a lui Laplace, si valorile sale sunt tabelate.

Repartitia normala de probabilitate se utilizeaza la controlul calitatii simplu si secvential prin masurare.

Repartitia exponentiala negativa

Este foarte des folosita in studiul fiabilitatii si al controlului statistic al fiabilitatii.

O varianta aleatoare x are o repartitie exponentiala negativa notata cu E(x, l) daca densitatea de probabilitate este urmatoarea:

f (x) =  '<

s

Functia de repartitie este data de:

0 pentru x < 0 1e^-1x pentru x > 0

F(x)=

x < 0

x > 0

Valoarea medie a unei variabile aleatoare x distribuita exponential sunt: M(x) = ; D(x)= -L Fig. 6.12 Graficul functiei de densitate de probabilitate pentru repartitia exponentiala

f(x,1) t

x