METODOLOGIA PREDARII - INVATARII OPERATIILOR IN MULTIMEA NUMERELOR NATURALE

METODOLOGIA PREDARII - INVATARII OPERATIILOR IN MULTIMEA NUMERELOR NATURALE

1 FORMAREA NOTIUNII DE OPERATIE

In metodologia predarii-invatarii operatiilor matematice, recurgerea la realitatea inconjuratoare este indispensabila. Aceasta realitate trebuie luata ca punct de plecare si punct de sosire, deoarece nu se dobandesc competente profunde decat in functie de abstractiunile raportate la realitatile care le concretizeaza. Acest raport, concret-abstract, va fi abordat potrivit stadiilor de evolutie a gandirii copilului, relevate de psihologia genetica.

La clasele I - IV nu se face un studiu teoretic al problemei, in sensul definirii operatiilor. Mai departe, consider, insa, ca invatatorul trebuie sa cunoasca cu claritate definitia fiecarei operatii cu numerele naturale si proprietatile acestora. Aceste cunostinte faciliteaza formarea notiunii de operatie - adunare, scadere, inmultire si impartire - la nivelul posibilitatilor de intelegere ale elevilor. Astfel, se urmareste constientizarea de catre elevi a procesului de cunoastere, a semnificatiei operatiilor, cat si a principiilor ce stau la baza aplicarii lor in calcul. Pentru elevii cu inclinatii spre matematica, cunostintele teoretice ale invatatorului devin conditie necesara pentru educarea acestor inclinatii, chiar de la clasele mai mici. In acest context, consideram ca este necesara tratarea unor aspecte teoretice privind definirea operatiilor si, apoi, a celor practice, demonstrative, vizand formarea notiunii de operatie la clasele I - IV.

2 OPERATII IN MULTIMEA NUMERELOR NATURALE

Procesul formarii conceptului de numar natural se bazeaza pe notiunea de multime si introducerea operatiilor cu numere naturale are la baza operatiile cu multimi de obiecte. Aceasta constituie baza intuitiv - concreta pentru intelegerea de catre elevi a operatiilor cu numere naturale, cat si pentru sesizarea principiilor de baza dupa care se efectueaza calculul.

Introducerea operatiilor cu numere naturale nu se face izolat, ci cu ajutorul legaturii dintre operatii si cunostintele insusite anterior, ca o extindere, ca o aprofundare a acestora. Astfel, scaderea se introduce ca o operatie de aflare a unui termen, al unei adunari atunci cand se cunoaste suma si unul din termenii adunarii, inmultirea ca o adunare repetata, impartirea ca o scadere repetata sau ca operatie de aflare a unui factor al unei inmultiri cand se cunosc produsul si unul din factorii inmultirii etc.

Adunarea numerelor naturale este operatia interna prin care se asociaza la numerele naturale a si b un numar natural notat cu a+b, care se numeste suma numerelor naturale a si b. Numerele a si b se numesc termenii adunarii.

Legea de asociere, de obtinere a sumei a+b, este data cu ajutorul regulii de operatie, folosind multimi. Daca A si B sunt 2 multimi disjuncte cu a elemente si, respectiv, cu b elemente, atunci, numarul elementelor multimii ce se obtine prin reuniunea celor 2 multimi este a + b (suma numerelor a si b)

Adunarea numerelor naturale este o operatie totdeauna posibila pe , deci o lege de compozitie interna, pe peste tot definita.

Dintre proprietatile ce se pot stabili pentru o operatie interna de tip aditiv, adunarea numerelor naturale se bucura de urmatoarele proprietati:

asociativitatea - oricare sunt numerele naturale a, b si c, avem: (a+b)+c = a+(b+c);

comutativitatea - oricare ar fi numerele naturale a si b avem: a+b = b+a;

existenta elementului neutru - exista numarul natural 0 (zero), astfel incat a+0 = 0+a = a, oricare ar fi a

Scaderea numerelor naturale este operatia prin care, cunoscand suma a doua numere naturale si unul din termeni, se afla cel de-al doilea termen. Deci, a scadea dintr-un numar a, numit descazut, un alt numar b, numit scazator, cu a≥b, inseamna a gasi un alt numar natural, c, numit rest sau diferenta, care adunat cu scazatorul sa dea descazutul. Adica:

a-b=c, daca a=b+c

Scaderea numerelor naturale se poate introduce cu ajutorul multimilor astfel: se ia o multime A cu a elemente si o submultime a sa B cu b elemente. Multimea diferenta dintre A si B sau complementara lui B fata de A are a-b elemente.

Inmultirea numerelor naturale. A inmulti a cu b, inseamna a aduna numarul natural a cu el insusi de b ori.

Deci:

a+a+a+a++a=bxa

de b ori

Numerele care se inmultesc se numesc factori. Inmultirea numerelor naturale este o operatie intotdeauna posibila in . Regula de operatie este data de adunarea repetata a aceluiasi numar natural.

Inmultirea poate fi introdusa si folosind produsul cartezian. In acest caz, inmultirea numerelor a si b se introduce astfel: se iau doua multimi A si B, cu a si, respectiv, b elemente, se formeaza multimea AxB, iar numarul elementelor acestei multimi este tocmai axb.

Dintre proprietatile ce se stabilesc pentru o lege de tip multiplicativ, inmultirea numerelor naturale se bucura de urmatoarele proprietati:

asociativitatea - oricare ar fi numerele a si b si c, avem (axb)xc=ax(bxc);

comutativitatea - oricare ar fi numerele naturale a, b, avem; axb =bxa;

existenta elementului neutru - exista numarul natural 1, astfel incat ax1 = 1xa = a, oricare ar fi a

Cele doua operatii interne definite pe x (adunarea si inmultirea numerelor naturale) se leaga intre ele si printr-o proprietate comuna - aceea de:

distributivitatea inmultirii fata de adunare - oricare ar fi numerele naturale a, b, c, avem: ax(b+c) = axb + axc.

Impartirea numerelor naturale se introduce ca operatie de determinare a unui numar natural atunci cand se cunosc produsul a 2 numere naturale si unul din factorii produsului, acest factor fiind diferit de zero.

In general, prin impartirea numarului natural a la numarul natural b, se intelege gasirea unui numar natural c, astfel incat a=bxc. Numarul natural b, trebuie sa fie diferit de zero si se numeste impartitor, numarul natural a se numeste deimpartit, iar rezultatul impartirii se numeste cat. In plus, pentru ca impartirea in sa fie posibila, trebuie ca deimpartitul sa fie divizibil cu impartitorul.

Daca deimpartitul nu este divizibil cu impartitorul, se spune ca impartirea nu se face exact, ca restul ei nu este zero si o numim impartire cu rest, pe care o definim astfel:

Oricare ar fi numerele naturale a si b, cu b≠0, exista doua numere naturale, c si r, cu r <b, astfel ca a=bxc+r (teorema impartirii cu rest).

Comparand cele doua cazuri, se constata ca primul caz constituie un caz particular al celui de-al doilea (al impartirii cu rest), si anume, atunci cand restul este nul. In ambele situatii, regula de operatie a impartirii este data cu ajutorul inmultirii:

Ex.: 72:9=8 pentru ca 8x9=72;

75:9=8(rest 3) pentru ca 8x9+3=75.

Numarul zero si operatia de impartire

a.      Daca a=b=0, impartirea la 0 nu are sens.

b.     Daca a≠0 si b=0, nu are sens intrucat egalitatea ax+b =0 nu este satisfacuta pentru ca nu exista nici un numar natural x astfel incat acesta inmultit cu zero sa ne dea numarul natural a.

Cu ajutorul multimilor, impartirea cu rest a numerelor naturale se bazeaza pe separarea multimii A cu a elemente in submultimi disjuncte doua cate doua, fiecare avand cate b elemente. Numarul multimilor de cate b elemente ce pot fi formate este catul impartirii, iar numarul elementelor ramase nedistribuite in submultimi este restul impartirii. Acest model sugereaza posibilitatea efectuarii impartirii prin scaderi repetate ale aceluiasi numar, deci determinarea catului si restului prin calcul. Regula de operatie a impartirii poate fi data si cu ajutorul scaderii repetate.

De exemplu: 24 8 3, pentru ca 8 se poate scadea de trei ori din 24, deci catul este 3 si restul o, sau 37 9 4 si rest 1, pentru ca 9 se poate scadea repetat din 37 de 4 ori iar restul este 1.

Daca numerele naturale au fost construite cu axiomatica lui Peano, se introduc in multimea N doua legi de compozitie interne notate "+" si respectiv x, prin urmatoarele axiome:

1. a + 1 = a', a

2. a + b + 1 = (a + b)', a,b

3. a

Aceste axiome nu ne spun precis ce este suma si produsul a doua numere naturale, ele ne dau insa posibilitatea de a gasi pentru oricare doua numere naturale suma si produsul lor, unic determinate.

Se poate demonstra, prin inductie completa, ca cele doua legi de compozitie astfel introduse au proprietatile cunoscute ale adunarii si inmultirii (asociativitate, comutativitate, distributivitate a inmultirii fata de adunare).

Predarea-invatarea adunarii si scaderii cu numere mai mari decat 100, fara si cu trecere peste ordin, se face in mai multe etape: la clasa a II-a se preda adunarea numerelor mai mari decat 100si mai mici decat 1000, fara trecere peste ordin, iar in clasa a III-a se preda adunarea si scaderea numerelor naturale mai mari decat 100 si mai mici decat 1000, cu trecere peste ordin, apoi adunarea si scaderea numerelor naturale mai mari decat 1000.

ADUNAREA NUMERELOR NATURALE FARA TRECERE PESTE ORDIN

Aceasta categorie de operatii poate fi divizata in:

Adunarea a doua numere formate numai din sute: aceasta adunare se bazeaza pe faptul ca sutele reprezinta unitati de ordinul al treilea si ca adunarea lor se realizeaza ca si adunarea unitatilor sau a zecilor;

Adunarea a doua numere formate unul numai din sute, iar celalalt din unitati sau zeci;

Adunarea la un numar format din sute si zeci a unui numar format numai din unitati sau numai din zeci sau numai din sute;

Adunarea la un numar format din sute, zeci si unitati a unui numar format din unitati sau numai din zeci sau numai din sute;

Adunarea la un numar format din sute, seci si unitati a unui numar format numai din unitati si zeci, sau a unui numar format numai din sute si zeci sau a unui numar format numai din sute si unitati;

Adunarea la un numar format din sute, zeci si unitati a unui numar format tot din sute, zeci si unitati.

Procedeele aplicabile la aceste cazuri de adunari se bazeaza pe regulile procedeului general de adunare intre ele a numerelor de unitati de acelasi ordin si constituirea numarului rezultat din adunarea intre ele a sutelor cu sutele, a zecilor cu zecile si a unitatilor cu unitatile.

ADUNAREA NUMERELOR NATURALE CU TRECERE PESTE ORDIN

Si aceasta categorie se invata trecand prin mai multe etape. Toate procedeele se bazeaza pe formarea si scrierea zecimala a numerelor naturale si, daci pe faptul ca zece unitati de ordinul I formeaza o unitate de ordinul al II-lea, zece unitati de ordinul al II-lea formeaza o unitate de ordinul al III-lea si asa mai departe pentru numerele mei mari decat o mie.

Deoarece procedeele analoge cu cele folosite la adunarea numerelor formate din zeci si unitati, nu vom mai insista asupra lor. La aceste exercitii se recomanda, in paralel cu calculul oral, sa se efectueze si calculul in scris.

Recomandam, de asemenea, ca aceste adunari sa se faca treptat si in ordine:

Adunarea unui numar format din zeci si unitati cu un numar format numai din zeci, suma zecilor celor doua numere trecand de 100:

=60 + 70 + 4=

=60 + 40 + 30 + 4=

=100 + 34=

=134

In analiza acestui caz, trebuie sa se insiste pe formarea sutei din zecile primului numar si o parte din zecile celui de-al doilea numar;

adunarea a doua numere formate fiecare din zeci si sute, dar prin adunarea cifrelor de acelasi ordin numai o suma sa depaseasca ordinul respectiv:

=50 + 50 + 30 + 3 + 4=

=100 + 37=

=137.

64 + 27=60 + 20 + 4 + 7=

=80 + 10 + 1=

=90 + 1=

=91.

adunarea a doua numere formate din zeci si unitati astfel incat prin adunarea atat a unitatilor cat si a zecilor sa se depaseasca ordinul respectiv;

=70 + 80 + 6 + 5=

=150 + 11=

=161;

adunarea a doua numere formate unul din sute, zeci si unitati, iar celalalt numai din unitati sau numai din unitati si zeci:

=460 + 11=

=471.

=540 + 80 + 6 + 7=

=620 + 13=

=633.

adunarea a doua numere formate fiecare din unitati, zeci si sute:

=300 + 500 + 80 + 40 + 6 + 8=

=800 + 120 + 14=

=920 + 14=

=93

La fiecare situatie se insista pe faptul ca se aduna intre ele unitatile de acelasi ordin, ca din 10 unitati de un anumit ordin se formeaza o unitate de ordin imediat superior care se aduna la numarul unitatilor de acest ordin rezultat prin efectuarea operatiei de adunare intre ele. La calculul in scris, pentru forma verticala, trebuie sa se insiste pe scrierea atat a numerelor care se aduna, cat si acelui rezultat din adunare, a unitatilor de un anumit ordin sub unitati de acelasi ordin.

SCADEREA NUMERELOR MAI MARI DECAT 100

Operatia de scadere este mai dificila decat cea de adunare. Dificultatea consta in faptul ca scaderea presupune un efort de gandire mai mare din partea elevilor. Aceasta se datoreaza faptului ca in cazul cand numarul de unitati de un anumit ordin al descazutului este mai mic decat numarul de unitati de acelasi ordin al scazatorului trebuie sa se transforme o unitate de acest ordin in zece unitati de ordinul imediat inferior, sa se scada aceasta unitate din cele de acelasi fel existente. Deci, se fac simultan mai multe descompuneri si compuneri de numere de ordin diferite.

Este evident ca invatatorul va trebui, sa reaminteasca elevilor compararea realizata prin diferenta si sa faca mai multe exercitii cu scaderi in concentrul 0 - 100.

In acest sens se recomanda sa se parcurga urmatoarele etape:

scaderea unui numar format numai din zeci si unitati din 100;

scaderea unui numar format din zeci si unitati din 100;

scaderea unui numar format din unitati dintr-un numar format din unitati si sute;

scaderea dintr-un numar format din unitati, zeci si sute a unui numar format numai din zeci ;

scaderea dintr-un numar format din unitati, zeci si sute a unui numar format din unitati si zeci;

scaderea dintr-un numar format din unitati, zeci si sute a unui numar format tot din unitati, zeci si sute.

Pentru fiecare etapa in parte, va incepe cu scaderi in care sa nu se faca trecere peste ordin si dupa ce acestea vor fi foarte bine insusite de elevi se va continua cu cele in care se face trecerea peste ordin.

In continuare, iata cateva exemple de scaderi:

100 - 80=20 + 80 - 80=20;

100 - 40=90 + 10 - 40 - 3=

=90 - 40 + 10 - 3=

=50 + 7=57;

475 - 4=470 + 5 - 4=

=470 + (5 - 4)=

=470 + 1=471;

386 - 9=370 + 10 + 6 - 9=

=370 + 16 - 9=

=370 + 7=377

856 - 40=810 + 40 + 6 - 40=

=810 + 6 + 40 - 40=

=810 + 6=816;

723 - 82=600 + 100 + 20 + 3 - 80 - 2=

=600 + 120 - 80 + 3 - 2=

=600 + 40 + 1=

=641;

546 - 78=400 + 100 + 40 + 6 - 70 - 8=

=400 + 130 + 10 + 6 - 70 - 8=

=400 + 60 + 8=

=468;

456 - 245=400 - 200 + 50 - 40 + 6 - 5=

=200 + 10 + 1=

=211;

587 - 369=500 - 300 + 70 - 60 + 17 - 9=

=200 + 10 + 8=

=218;

843 - 361=700 - 300 + 140 - 60 + 3 - 1=

=400 + 80 + 2=

=482;

523 - 148=300 + 210+ 13 - 140 - 8=

=300 + 210 - 140 + 13 - 8=

=300 + 70 + 5=

=375;

437 - 259=100 + 320 + 17 - 250 + 17 - 9=

=100 + 320 - 250 + 17 - 9 =

=100 + 70 + 8=

=178.

Este evident ca, in functie de nivelul de pregatire al elevilor, de posibilitatile lor intelectuale, de experienta invatatorului si a elevului se poate trece peste o etapa sau alta, se pot aplica aceste procedee sau altele.

Se recomanda ca la scrierea pe verticala si in cazul in care numarul unitatilor de un anumit ordin al descazutului este mai mic decat numarul de unitati de acelasi ordin al scazatorului, sa se specifice prin scriere deasupra cifrei ordinului respectiv la descazut numarul de unitati obtinute prin adaugarea celor zece obtinute prin transformarea unei unitati de ordin superior iar deasupra cifrei ordinul care s-a micsorat, cifra care a ramas. De exemplu, pentru scaderea 432 - 125 se va proceda astfel:

O situatie aparte o reprezinta scaderile in care cifrele de un anumit ordin, fie ale descazutului, fie ale scazatorului, sunt zero. Intelegerea si insusirea de catre elev a acestui tip de scadere se va face prin multe exercitii si cu exemple cat mai variate (abordandu-se toate cazurile posibile de astfel de scaderi).

La scaderile in care la descazut atat cifra unitatilor cat si cea a zecilor sunt zero, elevii sesizeaza mai greu ca se ia o suta de la sutele descazutului si se transforma in zeci si ca din acestea se ia o zece si se transforma in unitati. La inceput, la calculul in scris pe verticala este bine sa se evidentieze si sa se consemneze aceste lucruri. De exemplu, pentru scaderea 400 - 185, in scris va aparea:

Operatiile de adunare si de scadere a numerelor naturale mai mari decat 1000 se efectueaza oral si in scris , in etape similare si prin procedee analoge cu cele invatate la adunarea si scaderea numerelor naturale mai mici decat 1000.

Pentru adunarea in scris, ca si scaderea numerelor naturale mai mari decat 1000 este necesar sa fie cunoscute temeinic de catre elevi clasele si ordinele, scrierea zecimala a acestor numere, ordinea claselor si ordinea claselor in fiecare clasa, scrierea si citirea corecta a numerelor de orice marime, operatiile de adunare si de scadere insusite anterior (cu numere naturale mai mici decat 1000), sa fie formata deprinderea de scriere a claselor sub aceleasi clase si a ordinelor din fiecare clasa, cu subordinele corespunzatoare ale claselor corespunzatoare. Prin exercitii repetate, trecandu-se prin etape similare cu cele prin care s-a trecut la efectuarea acestor operatii cu numere mai mici, comparatia se va ajunge la concluzia ca tehnica de calcul este aceeasi.

Scaderea cu trecere peste ordin prezinta, de asemenea, dificultati ca si concentrul 0 - 1000, care vor putea fi eliminate prin modalitati similare cu cele folosite in acel concentrul.