TEHNICI DE LUCRU UTILIZATE IN PREGATIREA ELEVILOR PENTRU PERFORMANTA

TEHNICI DE LUCRU UTILIZATE IN PREGATIREA ELEVILOR PENTRU PERFORMANTA

Studiul matematicii prin clasele de excelenta urmareste in principal crearea unui cadru organizat, in care elevii talentati la matematica sa formeze un grup performant. Acesti elevi beneficiind de o pregatire pe masura potentialului lor, vor contribui ulterior la formarea unei elite romanesti in domeniul matematicii. Din acest motiv, elaborarea unei programe pentru clasele de excelenta precum si modul in care se va lucra pe aceasta programa trebuie inteleasa ca o etapa necesara unui inceput de drum.

Temele propuse constituie o extindere fireasca a programei obligatorii de matematica si parcurgerea lor este necesara pentru elaborarea unor probleme mai dificile. Anumite teem vor fi tratate pe parcursul ami multor ani de studiu asigurandu-se astfel continuitatea si coerenta procesului de invatare. La elaborarea programei trebuie avut in vedere faptul ca matematica nu este un produs finit, ci un proces intelectual in care, pe suportul unor cunostinte solide, primeaza initiativa personala. Astfel, aceasta programa ofera posibilitati autentice de optiune pentru profesori si elevi.

Pentru formarea competentelor necesare oobtinerii succesului este nevoie sa se creeze elevilor posibilitatea de a-si manifesta initiativa in toate domeniile scolare si personale, sa lucreze in grup pentru a-si solutiona problemele, sa li se permita alegerea metodei potrivite, sa actioneze la cele mai ridicate standarde.

Acest proiect consta in:

. pregatirea si antrenarea elevilor capabili de performanta in matematica

. parcurgerea materiei conform programelor scolare si a celor de olimpiada

. asigurarea partii teoretice pe suport electronic sau clasic pentru accesul la

informatie

. organizare aunui concurs intre grupe de elevi apoi intre scoli

. proiectul nu va consta numai in prezentarea de anumite teme si metode de

rezolvare a problemelor ci si in munca individuala, acasa, a fiecarui elev,

munca ce va crea teme care vor fi dezbatute cu profesorii

. stimularea interesului si motivarea elevilor participanti la proiect prin orga-

nizare unei excursii gratuite

Competente specifice pentru acest proiect:

1. cunoasterea si intelegerea conceptelor, a terminologiei si a proceddurilor de

calcul,

2. dezvoltarea capacitatii de a emite judecati de valoare pentru rezolvarea pro-

blemelor inventiv si euristic-creative

3. dezvoltarea capacitatii de a face conexiuni cognitive in cadrul disciplinei, la

nivelul ariei curriculare

4. dezvoltarea capacitatii de a comunica utilizand limbajul matematic

5. dezvoltarea interesului si a motivatiei pentru studiul si aplicarea matemati-

cii in contexte variate

Una din tehnicile de lucru utilizate in pregatirea elevilor pentru performante este "scarita". "Scarita" este un text matematic de sine statator, concentrat pe un anumit subiect, care poate fi utilizat de profesori sau de elevi in munca la clasa si nu numai. In esenta, o scarita este o succesiune de probleme, explicatii si intrebari pentru autotestare, ordonate crescator din punct de vedere al dificultatii. Lucrand dupa text, elevul poate sa-si imbunatateasca simtitor nivelul de cunostinte. De aici provine si numele de scarita: o unealta cu ajutorul careia se poate ridica la un nivel mai ridicat, un instrument care sa faciliteze depasirea diferitelor dificultati ce pot aparea. Folosind scaritele, elevii, dar si profesorii lor, pot sa-si imbogateasca, sa-si aprofundeze si sa-si testeze cunostintele legate de o anumita tema. Partea inferioara a scaritei este ancorata in curriculum-ul obisnuit, studiat la clasa. "Treptele" reprezinta problemele, definitiile, explicatiile, informatiile si celelalte provocari carora cel ce studiaza trebuie sa le faca fata pentru a putea atinge un nivel superior de intelegere a materialului. In functie de propriile capacitati elevii vor avansa, adica vor "urca" la diferite inaltimi ale scaritei. Gradul de avansare va evidentia elevii cu capacitati deosebite, deci sistemul scaritelor va ajuta si la identificarea talentelor.

Daca scarita este bine alcatuita si contine probleme interesante, provocatoare, aceasta va atrage si va motiva elevii sa dedice mai mult timp ti energie studiului matematicii.

Este foarte important ca scaritele sa fie alcatuite astfel incat dificultatea sa creasca moderat, sa nu fie distante mari intre doi pasi consecutivi, pentru ca elevii sa poata parcurge materialul chiar si fara ajutorul profesorilor.

Acest sistem se aseamana cu unele metode si practici traditionale, el nu obliga la restructurarea procesului de invatamant desfasurat in scoala.

CALCULAREA UNOR SUME DE NUMERE

In multe probleme elevii aplica in rezolvarea lor calculul unor sume de numere naturale consecutive, numere pare consecutive, numere impare consecutive.

1. Suma primelor n numere naturale

Divizibilitatea in N

Aflati cel mai mic numar natural, care impartit pe rand la 5, 6, 7, 8, da resturile 4, 5, 6, 7.

Fie n numar natural cautat, atunci:

n = c₁ n + 1 = 5 (c₁ +1) = M₅

n = c₂ +1 Þ n + 1 = 6 (c₂ +1) = M₆ Þ

n = c₃ n + 1 = 7 (c₃ +1) = M₇

n = c₄ n + 1 = 8 (c₄ +1) = M₈

n +1 este multiplu comun al numerelor 5, 6, 7, 8 si pentru ca se cere cel mai mic rezulta ca n +1 = Þ n +1 = 840 Þ n = 839

Determinati numerele naturale cuprinse intre 1200 si 5200 care impartite la 20, 28, 36 sa dea de fiecare data restul 5.

Fie n, numarul, atunci avem:

n = 20 c₁ + 5 n - 5 = 20 c₁ = M₂₀

n = 28 c₂ + 5    Þ n - 5 = 28 c₂ = M₂₈ Þ

n = 36 c₃ +5 n - 5 = 36 c₃ = M₃₆

n - 5 este multiplu comun al nr. 20, 28 si 36, 20, 28 si 36

n - 5 I

daca n - 5 = 1260 Þ n = 1265

daca n - 5 = 2520 Þ n = 2525

daca n - 5 = 3780 Þ n = 3785

daca n - 5 = 5040 Þ n = 5045

Deci problema are 4 solutii:

Numerele 1333 si 351 dau resturile 13 si respectiv 15 la impartirea cu acelasi numar natural diferit de zero. Aflati acest numar.

Fie n impartitorul, n > Þ

1333 = n c₁ + 13 ½ -13 1320 = n c₁   

Þ Þ n / 1320 si n / 336 Þ n divizor

351 = n c₂+ 15 ½ 336 = n c₂   

comun al numerelor 1320 si 336.

Singura solutie este n = 24 pentru ca divizorii ceilalti ai lui 24 sunt mai mici decat 15.

4) Determinati numerele a si b naturale pentru care

(a, b) = 15 si a b = 2700

din (a, b) = 15 Þ a = 15 k si b = 15 p, k, p I N si (k, p) = 1 inlocuind pe a si b in

relatia a b = 2700 Þ 15k 15p = 2700 /

k p = 12 Þ k = 1

1) ñ Þ a = 15,    b = 180

p = 12

k = 12

2) ñ Þ a = 180,    b = 15

p = 1

k = 3

3) ñ Þ a = 45,    b = 60

p = 4

k = 4

4) ñ Þ a = 60,    b = 45

p = 3

5) Se considera fractia , n I N . Aratati ca fractia este ireductibila.

Presupunand ca ( ) d astfel incat:

d / 5n + 3 si d / 3n + 2 Þ

d / 3 (5n + 3) si d / 5 (3n + 2) Þ

d / 5 (3n + 2) - 3 (5n + 3) Þ

d / 15 n + 10 - 15n - 9 Þ d / 1 Þ d = 1 Þ numaratorul si numitorul sunt numere naturale prime intre ele, deci fractia este ireductibila.

6) Fractia , n I N , este ireductibila; [10, 15] = 30.

Fie d, c.m.m.d.c. al nr. 10n + 3 si 15n + 4 Þ d / 10n + 3 si d / 15n + 4 Þ d / 3 (10n + 3) si d / 2 (15n + 4) Þ d / 30n + 9 - 30n - 8 Þ d / 1 Þ d = 1 Þ fractia este ireductibila.

7) Fie fractia , n I N, determinati numerele naturale n pentru care fractia este reductibila.

Fie d / 3n + 1 si d / 2n + 3 Þ d / 2 (3n + 1) si d / 3 (2n + 3) Þ d / 6n + 9 - 6n - 2 Þ

d / 7 Þ d = 7 pentru ca 7 este numar prim Þ

7 / 3n + 1 si 7 / 2n +3 Þ

7 / (3n + 1) - (2n + 3)

7 / 3n + 1 - 2n - 3 Þ 7 / n - 2 Þ n - 2 = 7k, k I N Þ n = 7k + 2 Þ n I

Cel mai mic numar pentru care fractia este reductibila este n = 2.

Probleme de coliniaritate

Procedeele cele mai intalnite pentru solutionarea problemelor de coliniaritate la nivelul claselor a VI-a sunt:

a)      Cu ajutorul unghiului alungit ( unghiuri adiacente suplementare)

b)      Folosind reciproca teoremei unghiurilor opuse la varf

c)      Prin identificarea unei drepte ce contine punctele respective

d)      Folosinf postulatul lui Euclid

e)      Folosind axioma de constructie a unghiului ( daca B si C sunt in acelasi semiplan determinat de dr. AA¢ si A¢AB º A¢AC, atunci A, B, C - colineare )

f)        Demonstrarea coliniaritatii punctelor A, B, C demonstrand ca AB+ BC = AC

1)_a Pe laturile consecutive AB si BC ale patratului ABCD se construiesc triunghiuri echilaterale ABE si BCF, primul interior si al doilea exterior patratului. Sa se arate ca punctele D, E, F sunt coliniare.

DABE - echilateral Þ m (BAE) = 60⁰

Þ m (DAE) = 90⁰ - 60⁰ = 30⁰

AD = AE Þ DADE - isoscel Þ

m (ADE) = m (AED) =

(180⁰ - 30⁰ )

m (EBC) + m (CBF) = 30⁰ + 60⁰ = 90⁰

Þ DEBF - dreptunghic; EB = BF Þ

Þ DEBF dreptunghic isoscel Þ

m (BEF) = 45⁰ Þ m (DEA) +

m (AEB) + m (BEF) = 75⁰ + 60⁰ + 45⁰ = 180⁰

Adica punctele D, E si F sunt coliniare.

2)_a Sa se demonsteze ca intr-un trapez mijloacele laturilor paralele si intersectia diagonalelor sunt trei puncte coliniare.

AB CD Þ DTL º BLT (alt. int.)

TDB º LBD (alt. int.) Þ DOT º BOL (1)

mai avem

AOD º BOC (opuse la varf) (2) si

ALT º CTL (alt. int.), LAC º TCA, Þ

AOL º COT (3)

Din relatiile ( 1 ), ( 2 ) si ( 3 ) in jurul punctului O avem: 2 m (AOL) + 2 m (AOD) + + 2 m (DOT) = 360⁰     de unde m (AOL) + m (AOD) + m (DOT) = 180⁰Þ punctele T, O, L, sunt coliniare.

3)_a Pe ipotenuza BC] a triunghiului dreptunghic ABC se considera un punct oarecare D. Fie K si P simetricele lui D fata de AB respectiv AC. Sa se arate ca punctele K, A, P sunt coliniare.

Pct. A I mediatoarei [DK Þ

In DADK, inaltimea AB este si

Bisectoare Þ KAB º BAD (1)

Pct. A I si pe mediatoarea [DP] Þ

AD = AP

In DAPD - isoscel, inaltimea AC

este si bisectoare Þ PAC º CAD (2)

Din relatiile (1) si (2) avem:

m (KAB) + m (BAC) + m (CAP) = 2 m (BAC) = 180⁰ ; deci punctele K, A, P sunt coliniare.

4)_b Fie patrulaterul ABCD cu E - mijlocul lui [AB] si R - mijlocul lui [CD]. Prin E se duc EF BC si EQ AD, iar prin varfurile C si D se duce cate o paralela la AB. Obtinem paralelogramele BCFE si AEQD.

Sa se arate ca varfurile F si Q ale acestor paralelograme sunt coliniare cu R.

BCEF - paralelogram Þ

Þ CF = BE (1)

AEQD - paralelogram Þ

Þ EA = QD (2)

QE - mijl. lui [AB] Þ

Þ BE = EA (3)

Din (1), (2) si (3) Þ

Þ CF = QD (4)

R - mijl. lui [CD] Þ

Þ CR = DR (5)

Mai avem CF BA QD, deci CF QD Þ FCR º QDR (6).

Din (4), (5) si (6) Þ DCFR º DDQR (LUL) Þ CRF º DRQ si cum F si Q sunt de o parte si de alta a dreptei CD, Þ pct. C, R, Q - coliniare

5)_d In DABC, punctele B¢ sa C¢ sunt mijloacele segmentelor [AC], respectiv [AB]. Daca L este simetricul punctului B fata de B¢ si T este simetricul puctului C fata de C¢, demonstrati ca punctele T, A, L sunt coliniare.

A C¢= B C¢

ñÞACBT- paralelogr Þ

C C¢ = C¢TÞAT BC (1)

BB¢ = B¢LñÞABCL-paralelogr. Þ

AB¢ = CB¢ Þ AL BC (2)

Din (1) si (2) tinand seama ca prin A trece numai o singura paralela la BC obtinem ca punctele T, A, L - coliniare.

6)_d Pe latura [BC] a triunghiului ABC se considera un punct D astfel incat BC = 3DC.

Daca R - mijlocul medianei CM, MI (AB), sa se arate ca punctele A, R, D sunt coliniare.

BT = TD

[MT] - linie mijl. in DABD Þ

AM = MBÞ MT AD (1)

MR = RC

[RD] - linie mijl. in DMTC Þ

TD = DC

Þ RD MT (2)

Din (1) si (2) si faptul ca prin punctul R trece numai o singura paralela la MT, rezulta ca punctele A, R, D sunt coliniare.