Exprimarea vitezei luminii si a indicilor de refractie in optica electromagnetica

Exprimarea vitezei luminii si a indicilor de refractie in optica electromagnetica

Ecuatiile lui Maxwell, care sunt ecuatiile de baza ale electrodinamicii, admit si in vid, in absenta substantei, a surselor, solutii netriviale de tip unda. Din ecuatia undelor electromagnetice construita in acest context prin identificarea patratului vitezei luminii in vid din ecuatia undelor cu constanta care se structureaza in ecuatia similara pe baza ecuatiilor Maxwell, rezulta urmatoarele exprimari ale vitezelor undelor electromagnetice si implicit optice:

unde     si sunt permitivitatile electrice absolute pentru vid respectiv pentru mediul de substanta considerat, fiind permitivitarea relativa a mediului, iar si sunt permeabilitatile magnetice pentru vid, respectiv pentru mediu, fiind permeabilitatea magnetica relativa a mediului.

Constantele si si implicit viteza undelor electromagnetice in vid, c, nu depind de frecventa acestora. In schimb permitivitatile electrice si permeabilitatile magnetice absolute si implicit cele relative pot depinde sensibil de frecventa undelor electromagnetice astfel ca viteza undelor in mediul material v_mediu si implicit lungimea de undasi indicele de refractie n pot depinde de frecventa. Aceasta dependenta defineste fenomenul de dispersie. Mediile materiale pentru care aceasta dependenta nu poate fi neglijata in intervalul optic de frecvente se numesc medii dispersive.

Deoarece la trecerea undei luminoase electromagnetice dintr-un mediu intr-altul, de regula nu se modifica frecventa sau perioada undei ci viteza acesteia, putem deduce simplu modificarea lungimii de unda la aceeasi frecventa prin trecerea luminii din vid in mediul material. Se obtine:

unde si sunt lungimile de unda ale luminii in mediu, respectiv in vid.

Daca descriem o unda plana intr-un mediu, in general, prin propagarea fara amortizare cu viteza v a perturbatiilor armonice aflate in faza, din toate punctele unui plan, pe directia perpendiculara pe plan, atunci ecuatia undei plane exprima faptul ca perturbatia armonica la momentul t intr-un plan perpendicular pe directia de propagare, situat la distanta x de planul "sursa" coincide cu perturbatia momentana din acest plan la momentul , unde este timpul necesar propagarii perturbatiei pe directia axei Ox de la planul sursa la planul curent considerat la distanta x. Indiferent de natura marimilor definite in plan si supuse perturbatiilor armonice in planul sursa pentru care alegem x = 0 se obtine o evolutie a perturbatiilor de tipul :

astfel ca ecuatia undei care descrie dependenta perturbatiei de pozitia x si timpul t capata forma

A este amplitudinea perturbatiilor sursei, pulsatia acestora, faza initiala si faza momentana la nivelul sursei.

In ecuatia undei plane , A isi pastreaza semnificatia iar faza undei depinde de pozitia x a planului si timp dupa legea

   

Folosind relatiile cunoscute pentru perturbatiile armonice si anume

, ,

(cu K marimea vectorului de unda) putem rescrie faza momentana a undei sub forma :

.

Daca exprimam lungimea de unda a undelor prin lungimea de unda in vid si indicele de refractie n al mediului de propagare , obtinem urmatoarea exprimare a fazei :

care pune in evidenta produsul cu ajutorul carui se exprima drumul optic.

Drumul optic diferential se exprima prin produsul dintre indicele de refractie al mediului strabatut de lumina si lungimea arcului diferential pe traiectorie, toate luate intr-un punct P al traiectoriei, .

Integrala acestei forme diferentiale pe traiectoria razei de lumina, intre doua puncte P₁ si P₂ reprezinta marimea drumului optic parcurs de lumina pe traiectoria razei de lumina, intre punctele P₁ si P₂.

Daca indicele mediului este constant drumul optice devine egal cu produsul dintre indicele de refractie si lungimea drumului geometric parcurs pe traiectorie

In final este important sa mentionam ca legea a doua a refractiei si implicit legea Snell - Descartes exprima, in optica electromagnetica, relatia de continuitate la traversarea suprafetei de separare a mediilor, pentru componenta tangentiala a vectorilor de unda (in cele doua medii).

Amintim ca vectorul de unda K pentru o unda monocromatica are modulul si directia si sensul vitezei de propagare. este un vector constant in cazul undei plane monocromatice.

In figura 6 se reprezinta vectorii de unda pentru undele plane incidente si refractate. Cei doi vectori fac cu normalele unghiuri egale cu cel de incidenta (i₁), respectiv de refractie (i₂). Se considera refractia luminii la trecerea din vid (1) in mediul material (2)

Conditia de continuitate pentru componenta tangentiala a vectorului de unda conduce la egalitatea proiectiilor acestor vectori pe planul de separare a mediilor:

ceea ce implica