	Biologie	Chimie	Didactica	Fizica	Geografie	Informatica
	Istorie	Literatura	Matematica	Psihologie

Matematica

Index » educatie » Matematica
» Analiza numerica a unor scheme cu diferente, aplicate la clase de ecuatii cu derivate partiale

Analiza numerica a unor scheme cu diferente, aplicate la clase de ecuatii cu derivate partiale

Analiza numerica a unor scheme cu diferente, aplicate la clase de ecuatii cu derivate partiale

Vom expune metoda retelelor pentru solutionarea numerica a problemelor la limita pentru ecuatii cu deriv ate partiale liniare de ordinul doi :

, (1)

unde : a, b, c, d, e, f, g, h, sunt functii ce pot depinde de doua variabile independente precum si de solutia insasi u.

Matematic, aceste ecuatii se impart in trei categorii, functie de valorile expresiei = b² - 4ac astfel :

a) tipul parabolic,

b) tipul hiperbolic, > 0 ;

c) tipul eliptic, < 0.

Definitie 0.1

O retea rectangulara in planul xOy cu pasul h in directia x si cu pasul k in directia y consta din punctele :

x_i = x_o + ih,

y_j = y_o + jk, unde h, k > 0.

Derivatele partiale se calculeaza cu formulele din teorema ce urmeaza.

Teorema 0.1

Presupunem ca functia f I C³([a,b]). Fie xI(a,b), h > 0 astfel incat x+h si x-h apartin lui (a,b). Atunci, exista x I(x-h, x+h) cu proprietatea :

(2)

Presupunem ca functia f I C⁴([a,b]). Fie xI(a,b), h > 0 astfel incat x+h si x-h apartin lui (a,b). Atunci, exista x I(x-h, x+h) astfel incat :

(3)

Folosind teorema precedenta, rezulta ca derivatele partiale de ordinul unu, in punctul curent, pot fi calculate dupa formulele :

(4)

si respectiv :

(5)

Similar, derivatele partiale de ordinul doi pot fi calculate dupa formulele :

(6)

(7)

In cele ce urmeaza, vom prezenta metoda retelelor pentru fiecare din tipurile prezentate mai sus, insistand cu precadere asupra problemelor cu aplicatii practice deosebite.

Este remarcabil ca metoda cu diferente finite este cea mai utilizata metoda numerica pentru rezolvarea ecuatiilor cu derivate partiale. Aceasta poate conduce la doua tipuri de algoritmi, functie de cum este transformata ecuatia cu derivate partiale in ecuatie cu diferente finite.

Un algoritm ce leaga direct valori necunoscute de valori cunoscute se numeste algoritm explicit. Astfel de logaritmi se intalnesc mai ales la problemele parabolice. Exista insa algoritmi ce leaga seturi de valori cunoscute si necunoscute, pentru gasirea necunoscutelor fiind necesare rezolvari de sisteme de ecuatii. Spunem ca un astfel de algoritm este de tip implicit (a se vedea problema eliptica).

Analiza calitativa a algoritmilor prezentati o vom face dupa criterii de convergenta si stabilitate. In acest sens, spunem ca metoda numerica a retelelor este convergenta daca rezultatele furnizate de aceasta converg spre valori obtinute analitic pentru h si k tinzand la zero. Stabilitatea unui algoritm este legata de modul de propagare a erorilor, analiza stabilitatii fiind facuta in functie de context.

O metoda numerica este stabila daca erorile acumulate la o etapa de calcul nu se propaga la etapele urmatoare. De aici, deducem ca stabilitatea unei metode numerice face ca erorile de calcul ale unei anumite etape sa nu devina catastrofale in ipoteza ca este continuat calculul.

1. Ecuatii de tip parabolic.

Sa se rezolve numeric problema parabolica descrisa de ecuatia :

, (8)

unde domeniul de definitie al functiei T este :

D_T =

Presupunem ca functia T(x,t) satisface conditiile la limita :

T(0,t) = T(1,t) = 0, t

Si conditia initiala :

T(x,0) = f(x),

unde functia f este data [1].

Solutie. Pentru a putea scrie ecuatia cu diferente asociata ecuatiei date, notam T_i,j valorile lui T in punctele x_i = ih, t_j = jk si aproximam operatorii diferentiali astfel :

si respectiv :

Dupa inlocuiri, gasim :

= k

= k +

de unde rezulta : T_i,j+₁ = rT_i-_1,j + (1 - 2r)T_i,j + rT_i_+1,j (9)

cu r = k / h².

In aceste conditii, banda D_T este inlocuita printr-o retea rectangulara de puncte (x_i , t_j). Ecuatiile cu diferente (9) permit calculul fiecarei valori a lui T, plecand de la valorile etapei temporale precedente, valorile initiale f(x_i) initiind procesul.

Fie ecuatia caldurii data in forma :

, a, b, c I R. (10)

cu conditia initiala :

T (x,0) = F(x), xI [0, l]

si conditiile la limita :

T(0,t) = f(t);

T(l,t) = g(t).

Sa se construiasca modelul cu diferente finite.

Solutie Consideram reteaua de puncte definita prin :

x_m = mh ,

t_n = nk ,

x_N = l.

Pentru simplitatea scrierii, notam :

Rezulta ca derivatele partiale de ordinul unu se exprima astfel :

(11)

In acelasi fel, derivata de ordinul doi se exprima prin :

(12)

Dupa inlocuiri, gasim :

= a + b + c

= k a + b + c

de unde, dupa efectuarea calculelor rezulta :

T_m,n = r(a- ½ bh)T_m_-1,n + [1 - r(2a + ch²)]T_m,n + r(a + ½ bh)T_m_+1,n

cu . (13)

Aici m = 1, 2, . . . , N

iar n = 1, 2, . . .

Acum, folosind conditiile initiale, gasim :

T_0,n = f(t_n) ;

T_m_+1,n = g(t_n),

T_m = F(x_m).

Aceste ecuatii cu diferente finite dau o aproximare pentru fiecare valoare interioara T_m,n₊₁ in functie de trei valori vecine dar, ale etapei anterioare de calcul. Prin urmare, calculul incepe prin gasirea valorilor la t = 0, apoi se continua pentru

t = k, 2k, . . .

Aplicati procedura descrisa la aplicatia anterioara pentru a = 1, b = c = 0,

f(t) = g(t) = 0, F(x) = 1, l = 1, in urmatoarele cazuri :

a) h = , k = ,

b) h = , k = .

Solutie

a) rezulta r = ½ si schema cu diferente finite este :

b) rezulta r = 1, iar schema cu diferente finite devine :

4. Este implicita metoda cu diferente finite prezentata mai sus ?

Solutie

Raspunsul este negativ. Ca exemplu, consideram :

cu conditiile :

T(0, t) = T(1, t) = 0,

T(x, 0) = 1.

Cu aceleasi aproximari ca la problemele anterioare, cu exceptia :

gasim :

rT_m_-1,n - (1+2r)T_m,n + rT_m_+1,n= - T _m,n_-1.

Pentru n = 1, membru drept devine cunoscut iar membrul stang are trei necunoscute. Luand m = 1, 2, . . . , M avem un sistem liniar de M ecuatii pentru a calcula T_1,1 , T_2,1 , . . . , T_M_,1 . Rezolvand sistemul, ne aflam la etapa n = 2. Fiecare linie se obtine rezolvand un sistem liniar. Avantajul metodei consta in faptul ca nu se impun conditii suplimentare pentru r.

5. Rezultatele de mai sus arata ca exista un prag al lui r peste care schema explicita (9) s-ar putea sa fie instabila. Existenta acestei limitari in aplicarea ecuatiei (9) pune problema imbunatatirii algoritmului. Una dintre cele mai utilizate cai este propusa de Crank si Nicolson.

Descrierea acestui algoritm va fi facuta in rezolvarea ce urmeaza.

Solutie Algoritmul Crank-Nicolson consta in aproximarea derivatei de ordinul doi folosind media aritmetica a reprezentantilor in punctele (i,j) si (i,j+1) astfel :

Cu aceasta reprezentare, ecuatia (8) devine :

, (14)

unde : r = k / h² .

Rezultatele mai bune se obtin cu pretul unei mai mari complexitati a formulei pentru algoritm. Metoda Crank-Nicolson conduce la un algoritm de tip implicit. Algoritmii de tip implicit necesita rezolvarea unor sisteme de ecuatii liniare. Deci, aplicabilitatea practica a algoritmului Crank-Nicolson rezida in posibilitatea rezolvarii rapide si eficace din punct de vedere numeric a sistemelor de ecuatii liniare.

6. Sa se arate ca algoritmul Crank-Nicolson este stabil pentru orice r

Solutie Folosind forma matriceala, relatiile (14) devin :

unde A, B sunt matrice patratice N x N.

Aici,

Deci, stabilitatea este implicata de valorile proprii ale matricei A^-1B care sunt :

; n = 1, 2, . . . , N.

Evident, | l_n n = 1, 2, . . . , N, deci algoritmul Crank-Nicolson este stabil pentru orice r

7. Ilustrati modul de aplicare a algoritmului Crank-Nicolson considerand problema difuziei vaporilor de alcool, descrisa de problema la limita :

T(x,0) = 2.0 ,

T(0,t) = 0,

T(20,t) = 10.0, in care D = 0.119cm²/sec.

Solutie Alegem h = Dx = 4cm si k = Dt astfel incat r = Dk/h² = 1. Rezulta k=134.4sec. Pentru k=134.4sec, la sfarsitul primului interval de timp, folosind conditiile initiale, algoritmul Crank-Nicolson pentru r = 1 este :

Rezulta un sistem tridiagonal care se rezolva prin tehnici speciale de algebra liniara.

2. Ecuatii de tip eliptic.

1. Inlocuiti ecuatia lui Laplace :

, (x,y) I [0,l] x [0,l] (15)

printr-o ecuatie cu diferente finite.

Daca valorile la limita pentru T(x,y) sunt cunoscute pe laturile unui patrat, aratati ca se gaseste un sistem algebric liniar.

Solutie Consideram domeniul discretizat dupa o retea patratica h x h si folosim aproximarile cunoscute pentru derivatele de ordinul doi :

Rezulta :

. (16)

Aceasta ecuatie arata ca T este exprimat ca media aritmetica a celor patru vecini din retea.

2. Sa se rezolve problema anterioara considerand (x,y)I[0,1]x[0,1] pentru T(x,0)=1, celelalte conditii la limita fiind zero.

Solutie Daca se alege, pe ambele directii, pasul , atunci se obtine o retea cu noua puncte interioare ca in Fig. 1.

Rezulta sistemul liniar :

T₁₁= [0+0+T+T₁₂]

T₁₂= [0+T₁₁+T+T₁₃]

T₁₃= [T₁₂+T₂₃+0

T₂₁= [0+T₁₁+T₃₁+T₂₂]

T₂₂= [T₂₁+T₃₂+T₂₃+T₁₂]

T₂₃= [T₂₂+T₁₃+T₃₃+0]

T₃₁= [0+T₂₁+T₃₂+1

T₃₂= [T₃₁+T₂₂+T₃₃+1]

T₃₃= [T₃₂+T₂₃+0+1]

rezulta sistemul :

4T₁₁-T₂₁-T₁₂= 0

4T₁₂-T₁₁-T₂₂-T₁₃= 0

4T₁₃-T₁₂-T₂₃ = 0

4T₂₁-T₁₁-T₃₁-T₂₂ = 0

4T₂₂-T₂₁-T₃₂-T₂₃-T₁₂ = 0

4T₂₃-T₂₂-T₁₃-T₃₃ = 0

4T₃₁-T₂₁-T₃₂ = 1

4T₃₂-T₃₁-T₂₂-T₃₃ = 1

4T₃₃-T₃₂-T₂₃ = 1

care se rezolva, de exemplu, prin metoda lui Jacobi. O aproximare a solutiei acestui sistem este : T₁₁=0.071, T₁₂=0.098, . . . , T₃₃=0.428.

3. O placa plana omogena, de otel, cu latura egala cu unitatea, are laturile din dreapta si de sus la Temperatura T=100⁰C, iar cele din stanga si de jos la 0⁰C. Gasiti distributia temperaturii in placa folosind o retea rectangulara regulata cu pasul .

Solutie Placa fiind plana si omogena, satisface ecuatia lui Laplace DT=0. Aplicam metoda cu diferente. Reteaua si conditiile la limita sunt cele reprezentate in Fig. 2.