Functii integrabile Riemann

Functii integrabile Riemann

Notiunea de integrala,a aparut din nevoia practica de a determina aria unei figure plane, dar si din unele consideratii de fizica (mecanica).

Pentru a calcula aria domeniului determinat de parabola normala y=x², axa OX si dreapta x=1,Cavalieri ( si alti matematicieni inaintea lui) procedau astfel.Imparteau intervalul [0,1] in n parti egale si calculau ariile dreptunghiurilor partiale, la baza ­si inaltime , deci de arie (vezi figura de mai jos)

Aria acoperita de dreptunghiuri este

= ,

care pentru n devine , rezultat bine cunoscut.

In analiza matematica,exista mai multe moduri de a defini "integrala" si acesta poarta numele matematicianului care a studiato: Riemann,Darbonx,Lebesque.

Functia lui Dirichlet;

f(x)= 1,daca xQ

0,daca x RQ

care nu este integrabila Riemann este integrabila Lebesque si are integrala Lebesque egala cu zero.Integrala Lebesque o functiei lui Dirichlet este nula pe orice multime AR,masurabila Lebesque.

Indiferent de denumirea integralei,in ecuatie lucrurile stau astfel: se defineste o anumita "schema" (procedura) S,prin care putem asocial unor anumite functii un numar bine determinat (unic).

A integra o functie f:[ a,b]R, relative la schema S,inseamna a determina numarul S(f) asociat lui f prin mijlocul schemei.

Una dintre cele mai utile (spectaculoase) aplicatii ale integralei Riemann este urmatoarea:

Daca un sir de numere reale(a) n1 poate fi imbracat in haina (costumul):

a=) atunci

a= ∫ f(x)dx

Majoritatea manualelor de Analiza matematica fac amintire la acest instrument important

Exemplu: ++ . + ) = 0x= ( ++ . +)== ∫dx= ln(1+x) = ln2

O alta aplicatie importanta a integralei Riemann este calculul ariilor cuprinse intre anumite curbe: de exemplu

Y= -4x+6 si =9x

Ecuatia rezultata din sistem

-8+-57x+36=0 are radacinile reale "1" si "4"

D = ∫(3-+4x-6)dx=[2x-+2-6x]=5

Referitor la integrala Riemann,printer problemele dificile sunt consecintele propietatii de monotonie,adica daca

F,g:[a,b]R sunt functii integrabile a.i. f(x)g(x), x[a,b],atunci ∫f(x) dx ∫g(x) dx

Exemplu: Sa se arate ca (2-)dx 1

(Examen Bacalaureat )

Solutie:

F:[, ]R,f(x)=2-eare propietatea:

F(x)f(0), x[,] si din ∫f(x) dx ∫1dx=1

Marele mathematician german Riemann(1826-1866) a murit la varsta de 40 ani.Pe vremea cand era student,profesorul sau,dandu-si seama de capacitatea lui,i-a pus la dispozitie biblioteca sa personala si la autorizat, sa nu mai urmeze regulat cursurile.Printre cartile luate de Riemann in studiu,a fost si celebrul tratat al lui Legendre de Teoria numerelor,de 859 pagini care desigur nu este usor de ingerat(insusit).Mare i-a fost surpriza profesorului lui Riemann cand dupa 6 zile cartea i-a fost restituita;intrebat pana unde a citito, Riemann a raspuns: "este o carte admirabila,am inteles-o in intregime".

Ceea ce impresioneaza dureros cand studiezi viata lui Riemann este faptul ca pana la varsta de 33 ani a dus o viata de privatiuni,iar cand la aceasta varsta a ajuns sa ocupe la universitatea din Gottingen locul lui Dirichlet,era atins de mult de tuberculoza,boala care l-a dus la moarte la varsta de 40 de ani neampliniti.

Atat Riemann cat si Abel nu ar fi murit de tuberculoza daca ar fi fost intelesi si sustinuti de figurile proieminente ale vremii.

Profesorul N.Dinculeanu,spunea ca diferenta dintre integrala Riemann si integrala Lebesque este urmatoarea:

Cand numaram bani dintr-un sac unde sunt bancnote multe si diferite,Riemann le i-a pe rand si le insumeaza,in timp ce Lebesque,rastoarna sacul,pune bancnotele de aceiasi valoare una peste alta si dupa aceea le insumeaza(numara).Se pare k procedeul lui Lebesque este mai eficent(intelligent)!?