Istoria matematicii

Istoria matematicii

O Istorie a Matematicii integrata in Istoria Civilizatiei umane ([3]) releva existenta unui fenomen general, ascuns in numeroase ipostaze particulare, fenomen important care merita a fi inteles, macar stiut. Despre ce este vorba? Incepand din deceniul al treilea al secolului XIX, pana prin primele decenii ale secolului XX, gandirea creatoare din domeniul Culturii europene (Filosofie, Stiinte si Arte) si-a arogat treptat un drept indiscutabil de acces la libertatea maxima, adica la libertatea cea mai mare pe care aceasta gandire o poate avea, in diversele cazuri particulare de manifestare ale ei. Rezultatul? Pentru Stiinte, un progres uimitor, care, de-a lungul secolului XX, a cuprins, extinzandu-se, intreaga omenire. Pentru Arte, realizarea unor opere perene ca acelea ale lui Picasso, Brancusi, Stravinski, Barbu, Joyce, Ionesco, Le Corbusier si ale multor altora. Eseul de fata? O incercare de a descifra acest fenomen general si de a-l intelege in unele cazuri particulare ale lui. Cunoasterea acestui fenomen este evident utila la intelegerea evolutiei Civilizatiei umane.

Incepem prin a prezenta o schita a drumului parcurs de catre gandirea creatoare europeana din Stiinte si Arte, in secolele XIX si XX, spre libertatea maxima. Vom marca acest drum referindu-ne doar la trei domenii: Matematica, Fizica, Arte.

Pare de necrezut, dar Matematica, stiinta matusalemica (vechime 2300 de ani!), stiinta adevarurilor vesnice, este primul domeniul al Culturii europene in care Gandirea creatoare a omului si-a arogat, in procesul de creare, dreptul de acces la libertatea maxima (ea trebuind sa respecte doar reguli din interiorul Matematicii, reguli ce caracterizeaza Matematica). Acest "fenomen", accesul gandirii creatoare din domeniul Matematicii la libertatea maxima, s-a petrecut in cel de al treilea deceniu al secolului XIX. Atunci s-a dat frau liber gandirii creatoare a matematicienilor, incalcandu-se brutal in rezolvarea unei bimilenare probleme din interiorul Matematicii, un principiu care, ca un cordon ombilical, lega Matematica de lumea fizica, un principiu ce parea de neincalcat, de fapt singurul si marele obstacol in calea libertatii de creare in Matematica. Era un principiu formulat cu claritate inca in opera lui Aristotel (384-322 i.e.n.), devenit, de-a lungul mileniilor, dogma de neatins. Acest principiu peremptoriu, pe care, in cele ce urmeaza, il vom denumi "principiul aristotelian",  afirma:

Matematica a aparut si se dezvolta, printr-un continuu proces de modelare la nivelul Gandirii a fenomenelor lumii fizice, Matematica servind, pe aceasta cale, intelegerii acestor fenomene.

Uluitor de repede, chiar de la inceputul secolului XX, libertatea s-a instalat, esential si pentru totdeauna, si in procesele de creare din Arte. Ea a permis astfel domeniului european al artelor secolului XX, sa ajunga sa se mandreasca, inaintea tuturor altora, cu opere ca acelea implicate de numele celor citati mai sus si ale atator altora, opere realizate incalcandu-se cu nepasare severe traditii si canoane.

Acesta ar fi, marcat prin trei etape esentiale, drumul spre libertatea maxima a gandirii creatoare din Cultura europeana a secolelor XIX si XX. Etapele sunt

1). Accesul la libertatea maxima a gandirii creatoare din Matematica.

            Structura matematica = Entitate matematica fundamentala determinata printr-un sistem de concepte si relatii, satisfacand unui sistem de ipoteze (axiome). Structurile matematice genereaza diverse teorii matematice utilizand doar 2 elemente oferite de logica, definitiile si demonstratiile. O teorie matematica obtinuta astfel este o teorie axiomatizata.

1). Accesul gandirii creatoare din Matematica la libertatea maxima La inceputul secolului XIX, Matematica era constituita dintr-un impozant sistem de teorii matematice. Printre aceste teorii matematice doar doua erau teorii axiomatizate: Geometria spatiului euclidian, axiomatizata la sfarsitul secolului IV inceputul secolului III i.e.n., in opera Elementele (Stoiheia) a grecului Euclid din Alexandria si Dinamica newtoniana, axiomatizata in 1686, in opera Principiile Matematice ale Filosofiei Naturii (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) a matematicianului englez Isaac Newton (1642-1727). In rest, intreaga Matematica de la inceputul secolului XIX era constituita din teorii, formate sau in curs de formare, generate fie constructivist, adica prin studiul unor problematici bine determinate in cadrul altor teorii matematice deja existente, fie, dar preponderent, prin studiul unor "modele matematice" ale unor fenomene din lumea reala (studiate cel mai adesea de Fizica sau de Tehnica). Majoritatea teoriilor din ultima categorie fusesera elaborate magistral de matematicieni ai secolului XVIII si ai primelor doua decenii ale secolului XIX (Euler, Lagrange, Laplace, Monge, Fourier etc). Problema axiomatizarii teoriilor matematice care, la inceputul secolului XIX se formau sau erau formate, nu se afla atunci in atentia cercetatorilor matematicieni.

Se constata ca in elaborarea tuturor teoriilor matematice, existente la inceputul secolului XIX, principiul aristotelian (Matematica este stiinta modelatoare la nivelul Gandirii a fenomenelor lumii fizice, pentru a le intelege!) conducea jocul, fara a intampina obiectii. Acest principiu rar a fost pus in discutie pana atunci, poate doar pentru a-i sublinia marea sa valoare in creativitatea matematicienilor. Iata ce spunea despre Matematica, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), in discursul sau la primirea sa in Academia Franceza:

'Nu poate exista un limbaj mai universal si mai simplu, mai lipsit de greseli si de confuzii, adica mai demn de a exprima raporturile invariabile dintre realitatile naturale.

Considerata din acest punct de vedere, aceasta stiinta (n.a.: Matematica) este tot atat de cuprinzatoare ca insasi natura. Ea defineste toate raporturile sensibile, masoara timpul, spatiile, fortele si temperaturile. Stiinta aceasta dificila se formeaza cu incetul, dar pastreaza toate principiile odata ce si le-a insusit. Ea creste si se consolideaza fara incetare, in mijlocul atator erori ale spiritului uman'.

In cele doua teorii matematice axiomatizate (Geometria lui Euclid si Dinamica lui Newton), principiul aristotelian a condus autoritar gandirea creatoare. Toate conceptele primare si ipotezele asupra acestor concepte sunt evident modele fidele ale unor elemente din realitatea fizica. Cand Newton, enuntand legea atractiei universale in opera sa Philosophiae Naturalis Principia Mathematica din 1686, a fost acuzat ca "a nascocit" aceasta ipoteza, in editia a doua a operei sale, din 1713, el a protestat vehement: Hypothesis non fingo! (Nu nascocesc ipoteze!). El avea dreptate, legea era impusa experimental de lumea fenomenelor fizice. Se pornise de la multimea observatiilor astronomice ale lui Tycho Brahé (1546-1601), observatii care au condus la formularea legilor lui Johannes Kepler (1571-1630), genialul Newton determinand si justificand cu ajutorul lor enuntarea legii atractiei universale.

In acest peisaj, descris acum al Matematicii de la inceputul secolului XIX, mai exista si altceva. In cadrul teoriilor matematice, ce constituiau Matematica acelui timp, se continuau cu asiduitate cercetari, devenite traditionale, unele cu vechime bimilenara, care urmareau rezolvarea unor probleme din interiorul Matematicii, probleme ce nu aveau nici o legatura cu lumea fizica, probleme ce nu se lasau deloc rezolvate sfidand puterea de gandire a matematicienilor (cele trei probleme celebre ale antichitatii, problema Postulatului V, problema rezolvarii prin radicali a ecuatiilor algebrice de grad mai mare ca 4, problema definirii numerelor reale etc). In rezolvarea uneia dintre aceste probleme din interiorul Matematicii, este vorba de Problema Postulatului V, se va produce prima neluare in seama (excludere!) a principiului aristotelian. Acest gest indraznet al gandirii creatoare, avand o justificare logica profunda, va elibera in final Matematica de obligativitatea legaturilor ei cu lumea fizica. Gandirea creatoare matematica s-a eliberat atunci deplin si pentru totdeauna.

Cum s-au petrecut lucrurile? In deceniul al treilea al secolului XIX, doi matematicieni, rusul Nikolai Lobacevski (1792-1856), profesor al Universitatii din Kazan (de pe Volga)  si Janos Bolyai (1802-1860), ofiter-tehnic in garnizoana Timisoarei, pentru a rezolva Problema (bimilenara) a postulatului V (postulatul paralelelor), au definit si studiat, in mod independent unul de altul, o noua structura matematica, in care principiul aristotelian era incalcat in mod flagrant, netinandu-se seama de realitatea fizica. Sistemul de concepte si de ipoteze al noii structuri coincidea cu cel al lui Euclid, cu o singura diferenta: postulatul V, care asigura in fond ca "oricare ar fi o dreapta si un punct ce nu apartine dreptei, punctul apartine la cel mult o paralela la dreapta data" (propozitie evident adevarata in spatiul fizic!), este inlocuit, ca ipoteza, cu negatia sa: "exista o dreapta si un punct ce nu apartine dreptei, punctul apartinand la cel putin doua drepte paralele la dreapta data". Prin studiul acestei noi structuri matematice, denumita astazi Planul Lobacevski-Bolyai, a fost elaborata o noua teorie matematica axiomatizata, pe care Lobacevski a numit-o initial "Geometrie imaginara". Janos Bolyai, nu i-a dat nici un nume. El a caracterizat-o sugestiv, ca fiind "o lume noua", creata de el "din nimic". Noua teorie poarta astazi denumirea de Geometria Lobacevski-Bolyai, multe din propozitiile ei contrazicand rezultate centrale ale Geometriei euclidiene. Mentionam, la aceeasi solutie a Problemei Postulatului V a ajuns si marele matematician german (denumit in vremea sa "princeps mathematicorum") Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Intr-o scrisoare, Gauss afirma ca el nu a indraznit sa-si publice rezultatul (ce incalca principiul aristotelian), de frica beotienilor (prostilor).

Eliberarea gandirii creatoare matematice de obligativitatea de a nu incalca principiul aristotelian este echivalenta cu eliberarea maxima a gandirii creatoare din Matematica, aceasta insemnand in fapt libertatea gandirii de a crea noi structuri matematice, fara a se mai tine seama de proprietatile lumii fizice. Evident, rezulta de aici o indepartare semnificativa de lumea fizica si deci o crestere esentiala a abstractizarii in domeniul Matematicii.

Eliberarea maxima a gandirii creatoare din Matematica s-a produs prin realizarea primei geometrii neeuclidiene si ea s-a impus, in toate domeniile Matematicii, nu fara avataruri pe care nu le vom mentiona aici. In apararea libertatii gandirii creatoare matematice s-au ridicat multi matematicieni. Raspunzand lui Fourier, ce reprosa unei lucrari a matematicianului german Karl Jacob Jacobi (1804-1851) ca nu are importanta practica, Jacobi a scris

 "Este adevarat ca Domnul Fourier  considera ca scopul principal al Matematicii este  utilitatea  publica si explicarea fenomenelor naturale; dar un filosof ca Domnia Sa ar trebui sa stie ca unicul scop al stiintei este onoarea gandirii umane si, ca din acest punct de vedere, o problema privitoare la numere este tot atat de importanta ca si problema privitoare la sistemul lumii."

In virtutea noii libertati, pana la sfarsitul secolului XIX, au fost determinate nenumarate structuri matematice, problema axiomatizarii punandu-se acum pentru toate teoriile matematice. Astfel au aparut structurile numerice (structura numerelor naturale, intregi, rationale, reale, complexe, a cuaternionilor), structurile algebrice fundamentale (structurile de grup, inel, corp, spatiu vectorial), structurile geometrice fundamentale (varietatile riemanniene, spatiile Programului de la Erlangen etc), structurile fundamentale ale Analizei (structura functiilor reale de variabile reale, structura functiilor complexe de variabila complexa, ambele generatoare a unei increngaturi extraordinar de bogate de teorii matematice) etc. La inceputul secolului XX au aparut structurile topologice, structurile mixte (algebrico-topologice, topologico-diferentiale, geometrico-diferentiale) etc. La sfarsitul secolului XX numarul teoriilor si problematicilor matematice distincte, cercetate de matematicieni, se afla intre 4.000 si 5.000 (vezi clasificarea din anul 2.000, folosita in revista Mathematical Reviews, editata de AMS), confirmandu-se astfel caracterul infinit creator al gandirii matematice libere. Intrucat aceasta imensitate de teorii abstracte, formeaza un sistem inextricabil in ceea ce priveste conexiunile interne, autonom in raport cu perechea-unitate Om-Cosmos in ceea ce priveste extinderea sa, putem afirma ca gandirea creatoare matematica, folosindu-se de libertatea sa, a devenit demiurgul unui nou Univers, total independent, Universul Matematic ([3], pag. 5), instrument fundamental in cunoasterea perechii-unitate Om-Cosmos.

O mare libertate produce adesea si o stare de neliniste, chiar de frica. Fenomenul s-a si intamplat. Unii matematicieni s-au temut ca crearea in mod arbitrar, de structuri matematice neavand vreo legatura cu lumea fizica, va declansa aparitia unei avalanse de structuri matematice nesemnificative stiintific, ce vor sufoca cercetarea matematica. Pericolul a fost analizat, se pare prima data, de matematicianul francez Henri Poincaré (1854-1912), in lucrarea celebra Stiinta si ipoteza [Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti 1986, traducere din franceza a lucrarii Science et hypothèse, editura Flammarion, 1903]. Dar nu a fost asa. Datorita interesului si vanitatii, matematicienii cauta evident ca structurile pe care ei le definesc si studiaza, si care daca nu contribuie la intelegerea unor fenomene din lumea fizica, sa aiba totusi alte calitati, adica sa fie importante stiintific, sa fie demne de luat in seama. Eventual ele sa fie utile in rezolvarea unor probleme importante din interiorul Matematicii, sa contribuie la o dezvoltare armonioasa a Universului Matematic, chiar doar sa fie frumoase (simple, clare, generand teorii cu rezultate semnificative in Matematica) etc. Putem afirma, dezvoltarea euforica a Universului Matematic datorita totalei libertati in definirea structurilor matematice nu a produs, asa cum se temeau unii, o avalansa sufocanta de structuri nesemnificative stiintific. Cel mai adesea, libertatea de a defini arbitrar noi structuri matematice a fost ingradita printr-o autocenzura benefica, cautandu-se asigurarea existentei valorii pentru noile structuri create.