	Biologie	Chimie	Didactica	Fizica	Geografie	Informatica
	Istorie	Literatura	Matematica	Psihologie

Matematica

Index » educatie » Matematica
» Simetria cubului

Simetria cubului

Simetria cubului

Cubul face parte din grupul octaedric de simetrie: si are 13 axe de simetrie determinate astfel:

1) Axa trece prin mijlocul a doua laturi opuse:

2) Axa trece prin mijlocul a doua varfuri opuse:

3) Axa trece prin centrul a doua fete opuse:

) Pozitii ale cubului in miscarea de rotatie fata de axele de simetrie

J₁

C₁

A₁

K₁

B₁

D₁

O₁

Figura nr. 4

O₂

M₁

A₁

L₁

B₁

J₁

K₁

C₁

O₄

O₃

Figura nr. 5

In figurile 4 5 si 6 sunt reprezentate pozitii de rotatie in cazul fiecarei axe C₄

Daca unghiul rotatiei are masura de 90⁰ punctul ocupa locul punctului ocupa locul punctului s.a.m.d. cubul cade in el insusi sau se spune ca este invariant la o rotatie al carui unghi are masura - multiplu de 90⁰

A₁

L₁

D₁

B₁

M₁

O₆

O₅

Figura nr.6

C₁

Figura nr. 7 reprezinta o pozitie de rotatie in cazul unei axe C₃

Sunt patru astfel de axe si cubul este invariant daca masura unghiului de rotatie este de 120⁰

Figura nr. 7

J₁

C₁

K₁

M₁

D₁

B₁

Figura nr. 8 reprezinta o pozitie de rotatie in cazul unei axe C₃

Sunt sase astfel de axe si cubul este invariant daca masura unghiului de rotatie este de 180⁰

deci dupa doua rotatii cubul cade in pozitia initiala

ret

Figura nr. 8

) Pozitiile planelor de simetrie in cub

C₁

A₁

B₁

D₁

Figura nr 10

C₁

A₁

B₁

D₁

Figura nr 9

C₁

A₁

B₁

D₁

Figura nr 11

C₁

A₁

B₁

D₁

Figura nr 12

C₁

A₁

B₁

D₁

Figura nr 13

C₁

A₁

B₁

D₁

Figura nr 14

In figurile 8,9,10,11,12 si 13 sunt prezente planele de simetrie notate .

Aceste plane determina sectiuni diagonale in cub si sunt in numar de sase, corespunzator celor sase axe de simetrie notate .

Un plan este determinat de doua muchii opuse ale cubului, iar o axa este perpendiculara pe acest plan si trece prin mijlocul altor doua muchii opuse din cub, paralele cu muchiile ce determina .

) Pozitiile planelor de simetrie in cub

C₁

A₁

B₁

D₁

Figura nr 15

C₁

A₁

B₁

D₁

Figura nr 16

C₁

A₁

B₁

D₁

Figura nr 17

In figurile 14 15 si 16 sunt prezente si planele notate numite plane mediane ( fiecare imparte cubul in doua parti trecand prin mijlocul a patru muchii paralele ale cubului) Fiecare cub este perpendicular pe cate o axa

Daca sunt puse in evidenta in acelasi cub - cele trei plane sunt perpendiculare doua cate doua

) Problema nr.1

Cubul este supus unei miscari de rotatie in jurul axei de simetrie ce uneste fetele si,evident, .

Daca este unghiul de rotatie si , notam noua pozitie a cubului , calculati aria totala si volumul corpului obtinut prin intrepatrunderea celor doua pozitii ale cubului, pozitia initiala si pozitia de la sfarsitul rotatiei. Consideram lungimea pentru muchia cubului: .

Rezolvare

1⁰ Deplasandu-se prin rotatia de unghi de 45⁰ segmentul A₀O,de exemplu, ajunge in pozitia A₁O; segmentele A₀D₀ si A₁D₁ formeaza intre ele unghiul D^IML si T D₁M = D₁L.

Din: T T .

In : T A₁P = PF = FR = A₀R T A₀F = FA₁.

2⁰ Notam: T , in triunghiul FA₁G.

Din: T T T

T x = 1 = .

3⁰ pentru a calcula aria octogonului stelat care s-a format adaugam la aria patratului de patru ori aria triunghiului FA₁G.

J₁

C₁

A₁

K₁

B₁

D₁

O₁

O₂

H^I

A₀

A₁

B₀

C₀

D₀

B₁

C₁

D₁

Din: T cm² T = .

4⁰ In : T T

T = .

5⁰ Din: T = .

6⁰ Din: T .

) Problema nr.2

In conditiile problemei nr. 1 dar si lungimea muchiei cubului de , calculati (pentru noile conditii) aria totala si volumul corpului obtinut prin intrepatrunderea celor doua pozitii ale cubului.

1⁰ Daca atunci si ML = 2 D₁L

Notam: D₁L = x T ML = 2x si

D₁M =

2⁰ Din: T

T T A₀M =

= MD₁ =

A₀

A₁

B₀

C₀

D₀

B₁

C₁

D₁

Rezolvare:

3⁰ Din: T T .

4⁰ Din: T T T

T x = 1 = D₁L , D₁M = si ML = 2 cm.

) Problema nr.3

In conditiile problemei nr. 1 dar si lungimea muchiei cubului de , calculati (pentru noile conditii) aria totala si volumul corpului obtinut prin intrepatrunderea celor doua pozitii ale cubului.

) Problema nr.4

In conditiile problemei nr. 1 dar si lungimea muchiei cubului de , calculati (pentru noile conditii) aria totala si volumul corpului obtinut prin intrepatrunderea celor doua pozitii ale cubului.

) Problema nr.5

Consideram cubul ABCDA₁B₁C₁D₁ cu centrul in O,un plan ce include muchia CD , M mijlocul muchiei AB si P mijlocul muchiei C₁D₁.

1) Demonstrati ca punctele M,B₁,P si D sunt coplanare.

2) Demonstrati ca patrulaterul este romb.

3) Daca , calculati aria sectiunii diagonale determinata de planul in cub.

) Problema nr.6

Consideram cubul ABCDA₁B₁C₁D₁ unde un plan determina o sectiune mai mare cu decat sectiunea determinata de un plan in acelasi cub. Calculati volumul si aria totala pentru cub.

Prof. Rotaru Grigore scoala Varbilau

Nota: Pentru corectarea greselilor de scriere am primit ajutorul elevei Elena Luiza Teleanu ( eleva a scolii Varbilau in anii ce au trecut, eleva a Liceului Slanic - Prahova , clasa a XII - a pentru anul scolar 2009 - 2010).

Bibliografie

a Carti si manuale

1) Platon - OPERE vol VI - 1989

2) Platon - OPERE vol VII - 1993

3) Diogenes Laertios - despre vietile si doctrinele filozofilor, traducere - acad. Prof. C.I.Balmus - 1963

4) Nicolae Angelescu, Gheorghe Craciun s,a. - Matematica 2000 - Editura Prahova

5) Dana Radu, Eugen Radu - Matematica clasa a VIII_a - Teora Educational - 2000

6) A. Hollinger - Geometrie , manual pentru clasa a _VIII-a Editura didactica si pedagogica , Bucuresti, 1977.

7) M.Mihaileanu, C.Ionescu - Bujor, C. Ionescu - Tiu - Geometria in spatiu, manual pentru anul II licee, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti - elaborat in anul 1967

8) Florica Campan - Variate aplicatii ale matematicii, Editura Ion Creanga, Bucuresti, 1984

9) Florica Campan - A doua carte cu probleme celebre - 1972

10) Filosofia greaca pana la Platon II - 1984 -

11) Adolf Haimovici si Constantin Bors - Elemente de geometria spatiului

A.N. Kolmogorov si altii - Geometrie pentru clasele VI - VIII 1979

13) Viorel Gh. Voda - Vraja geometriei demodate

M. Mihaileanu, C.Ionescu - Bujor, C. Ionescu - Tiu - Geometria in spatiu

15) Augustin Cota, Marta Rado s.a. - Geometrie si tigonometrie

16) Gh. D. Simionescu si Cezar Cosnita - Geometrie

17) Stefan Sabau si Dumitru Savulescu - Cum demonstram ca . ?

Diana Bell, Josef Rogers, Eryl Rothwell Hughes - Arie,masa,volum

b Adrese Net