Siruri - probleme si exercitii

Siruri - probleme

1.1. Siruri de numere reale

. Sa se arate, pornind de la definitie, ca sirul este convergent si are limita 4.

. Sa se arate ca daca sirul si sirul , atunci

(a). sirul este convergent si are limita egala cu .

(b). sirul , este convergent si are limita egala cu .

(c). sirul este convergent si are limita egala cu .

. Aratati ca .

. Fie sirurile si . Sa se calculeze .

. Sirul de numere reale , reprezinta termenii unei progresii geometrice de ratie . Fie sirul . Sa se arate ca

a). si b). .

. Se considera sirurile de numere reale , definite respectiv, prin relatiile de recurenta:

a). unde si .

b). unde .

c). .

Se cere:

(i). Sa se determine termenul general al acestor siruri.

(ii). Sa se calculeze limitele acestor siruri.

. Fie sirul . Studiati convergenta acestui sir.

. Calculati limitele sirurilor, (pentru ):

a). b). .

c). d). , fixat.

. Studiati convergenta urmatoarelor siruri, definite recurent:

a). b). ;

. Fie sirul . Sa se calculeze .

Indicatie. Folosim identitatea , , unde alegem si (sau , si , ).

. Aratati ca sirul

,

este convergent si determinati limita sa.

Solutie. Folosind inegalitatea , deducem ca pentru orice are loc

inegalitatea . Inmultind ultima inegalitate cu si apoi luand , obtinem . Atunci, pentru termenul general al sirului, putem scrie majorarea:

,

de unde rezulta ca sirul este marginit superior. Deoarece sirul este crescator rezulta ca este convergent. Pentru calculul limitei vezi, de exemplu, exercitiul 12).

. Studiati convergenta sirurilor:

a).

Indicatie. Folosind , putem scrie: a.i. sa avem . Fie , atunci a.i. , pentru orice si . Asadar, putem scrie inegalitatile

.

Deci, , si atunci .

b). Indicatie. Procedand ca in cazul a), obtinem .

c). Indicatie. Introducem sirul si procedand ca in cazul a), obtinem

si, atunci .

d). Indicatie. Introducem sirul si procedand ca in cazul b) obtinem

si deci, .

e).

Indicatie. Cu ajutorul limitei cunoscute: , putem scrie

, deci .

f). Indicatie. Deoarece , atunci obtinem

.

g).

Indicatie. Deoarece atunci, folosind notatia ( daca si numai daca ), obtinem . Asadar, avem

.

Fie sirul care are limita, (vezi, #). Calculati .

Solutie. Seria numerica este convergenta avand suma egala cu . Putem scrie

, unde este restul seriei considerate. Avem

.

Asadar, si deci, sirul este descrescator catre limita . Asemanator se arata ca sirul , este crescator catre limita . Rezulta inegalitatile . Inmultind aceste inegalitati , prin trecere la limita, obtinem

.

. Demonstrati inegalitatile:

a). ;

b). ;

c). .

1.2. Exercitii propuse

Aratati ca sirul cu termenul general , are doua puncte limita.

Raspuns. Punctele limita sunt elementele multimii .

Multimea reprezinta punctele limita ale sirului cu termenul general

.

Punctele limita ale sirului cu termenul general apartin multimii

.

Care din numerele reale sau reprezinta limita sirului avand termenul general

, . (Justificati afirmatia facuta).

Fie sirul , cu termenul general . Aratati ca este convergent si are limita egala cu .

Fie sirurile si , definite prin termenul lor general:

, si respectiv .

(i). Aratati ca sirurile si , sunt crescatoare si marginite iar sirul este descrescator si marginit.

(ii). Aratati ca si.

Indicatie. Calculand raportul a oricaror doi termeni consecutivi ai sirului , obtinem:

si deci ;

Pentru sirul , datorita inegalitatii

,

obtinem

si deci, avem , ceea ce arata ca sirul este descrescator.

Deoarece , , atunci sirul este crescator.

Dezvoltand dupa formula binomului lui Newton obtinem, pentru termenul , expresia:

Observam ca

.

Daca tinem seama ca, pentru orice , avem , deci , atunci putem scrie majorarile:

Asadar, deducem ca sirurile si sunt monotone si marginite, deci convergente.

Prin definitie, punem . Atunci rezulta inegalitatea .

Pentru a obtine inegalitatea inversa, observam ca pentru orice , fixat si pentru orice , avem

Deoarece in membru drept al ultimei inegalitati se insumeaza termeni, atunci pentru ,

obtinem , pentru orice , fixat. Daca trecem la limita dupa , obtinem si deci,

(ii). Deoarece , atunci .

Din principiul clestelui obtinem . Asadar, si deci .

Aratati ca sirul cu termenul general , este convergent si are limita egala cu ( este constanta lui Euler).

Aratati ca sunt verificate inegalitatile:

(i). .

(ii). , .

Solutie. (i). Daca in inegalitatea mediilor, punem

, , atunci obtinem a doua inegalitate. Pentru a arata prima inegalitate folosim metoda inductiei matematice si inegalitatea . In final obtinem

.

(ii). Observam ca pentru numerele consecutive , putem scrie De aici rezulta . Asadar, avem

.

1.3. Siruri definite prin relatii de recurenta lineara

Fie un sir de numere reale, definit de urmatoarea relatie lineara de recurenta:

, (1)

unde , constante arbitrare. Presupunem ca termenii si ai sirului sunt cunoscuti (ei formeaza asa numitele conditii initiale asociate relatiei de recurenta (1)).

Atunci multimea sirurilor,

sirul verifica relatia (1), (2)

cu operatiile obisnuite de adunare a sirurilor si de inmultire cu scalari, formeaza un spatiu vectorial peste corpul al numerelor reale, finit dimensional, mai precis.

O baza a spatiului vectorial poate fi construita astfel :

Presupunem ca ar fi o solutie nenula a ecuatiei , atunci ea verifica relatia , . Impartind aceasta relatie cu , obtinem ecuatia

, (3)

numita ecuatia caracteristica asociata relatiei de recurenta lineara (1).

Analizam situatiile :

(a). Presupunem ca ecuatia are radacinile reale si distincte  . Atunci sirurile

si ,

sunt doua solutii independente ale ecuatiei (1) , care pot fi luate ca baza in spatiul vectorial .

Sirul

(4)

verifica ecuatia (1) si este solutia generala a acestei ecuatii. Constantele si se determina cu ajutorul conditiilor initiale.

(b). Presupunem ca ecuatia are radacinile reale si egale . Atunci sirul

este o solutie particulara a ecuatiei (1).

Determinam a doua solutie particulara independenta de aceasta. Deoarece atunci, din relatiile intre radaci si coeficientii ecuatiei caracteristice , rezulta si . Definim

,

unde este o functie, deocamdata necunoscuta, care urmeaza sa fie determinata din conditia ca sa verifice ecuatia (1); avem  .

Inlocuind in aceasta relatie coeficientii si in functie de radacini deducem ca functia trebuie sa verifice ecuatia

(5)

Vom observa ca functia verifica aceasta ecuatie, prin urmare sirul

,

este o solutie a ecuatiei (1), independenta de solutia .

Sirul

(6)

verifica ecuatia (1) si reprezinta solutia generala a acestei ecuatii. Constantele si se determina din conditiile initiale.

(c). Presupunem ca ecuatia are radacinile complex conjugate . Atunci, scriind aceste radacini sub forma trigonometrica, si , unde si , deducem

si .

Solutia generala a ecuatiei (1) este definita de sirul

Deoarece si sunt constante oarecare si , atunci putem scrie solutia generala a ecuatiei (1) sub forma

(7)

unde si constante arbitrare.

Determinati termenul general al sirului care verifica relatia de recurenta:

, unde .

R. Relatia data se poate scrie sub forma echivalenta Scriind relatiile pentru si adunand egalitatile parte de parte gasim . Daca se tine seama de valorile cunoscute ale primilor doi termeni ai sirului obtinem .

Altfel. Considera multimea sirurilor care verifica relatia lineara data . Fie aceasta multime,

.

Se verifica usor ca , inzestrat cu operatia de adunare a sirurilor si inmultirea cu scalari, formeaza un spatiu vectorial real de dimensiune egala cu doi. Pentru a construi o baza a acestui spatiu vectorial vom observa ca sirul identic nul verifica relatia de recurenta lineara. Presupunem ca , ar fi o solutie nenula a ecuatiei lineare date. Atunci verifica ecuatia caracteristica . Asadar, ecuatia caracteristica are radacina dubla . Atunci este o solutie particulara care verifica relatia lineara de recurenta. O a doua solutie, independenta de aceasta poate fi aleasa de forma , unde functia trebuie sa verifice relatia

Observam ca functia verifica ecuatia de mai sus. In consecinta sirul , este o solutie a relatiei lineare de recurenta, independenta . Solutia generala, care verifica relatia lineara de recurenta, este o combinatie lineara a solutiilor particulare independente . Asadar, solutia generala are forma ; constantele reale se determina din conditiile initiale si gasim .

Determinati termenul general al sirului care verifica relatia de recurenta:

, unde .

Solutie. Scriem relatia de recurenta sub forma . Obtinem, succesiv relatiile ;

;

.

. Adunand aceste relatii, gasim

.

1.4. Siruri in

Fie spatiul vectorial . Definim norma unui element prin .

Atunci , unde , este spatiu metric (vezi spatii metrice).

(a). Aratati ca sirurile din spatiul metric , definite prin termenul general,

(i). (ii). ;

(iii). ;

sunt convergente avand limitele:

, si respectiv .

Indicatie. (i). Fie , unde si .

Avem: .

(ii). Fie . Pentru a arata ca sirul , cand , este suficient sa aratam ca

; ;

, deoarece .

(iii).Avem .

(b). Aratati ca , , este sir Cauchy in spatiul metric .

Solutie. Aratam ca sirurile coordonate sunt siruri Cauchy. Fie , unde

si

Avem:

pentru ;

pentru ;

pentru ;

Daca alegem atunci obtinem si pentru orice .

Observatie. Pentru a justifica echivalentele folosite in rezolvarea din exercitiul (1) s-au folosit inegalitatile intre componentele unui vector si norma sa:

Daca si atunci

, .

. Aplicatii ale criteriului lui Stolz

Sa se arate, folosind criteriul lui Cesaró-O.Stolz, ca urmatoarele siruri sunt convergente sau divergente (catre o limita care este specificata la fiecare sir imparte

Fie , unde este dat. Aratati ca .

R. Avem . Deoarece , atunci si deci, sirul este sir descrescator avand termeni pozitivi. Atunci si, din relatia de recurenta, deducem ca limita verifica ecuatia . Aceasta ecuatie are unica solutie, .

Sirul verifica conditiile din criteriul lui Stolz cu si . Atunci

, cand . Deci .