Proba scrisa la matematica

PROBA SCRISA LA MATEMATICA

Sesiunea speciala

Proba D. M1: Filiera teoretica: matematica-informatica, Filiera Vocationala, profil Militar, specializarea matematica-informatica

Nota. Toate subiectele sunt obligatorii. Se acorda 10 puncte din oficiu. Timp de lucru efectiv: 3 ore.

SUBIECTUL I (20p)

La toate subiectele se cer rezolvari complete.

(4 puncte) a) Sa se determine astfel incat punctele si sa se afle pe dreapta

de ecuatie .

(4 puncte) b) Sa se calculeze lungimea segmentului cu capetele in punctele si .

(4 puncte) c) Sa se calculeze suma .

(4 puncte) d) Sa se determine astfel incat sa avem egalitatea de numere complexe

.

(2 puncte) e) Sa se calculeze distanta de la punctul la dreapta de ecuatie .

(2 puncte) f) Sa se calculeze aria triunghiului cu varfurile in punctele , si .

SUBIECTUL II (30p)

(3 puncte) a) Sa se calculeze suma in grupul

(3 puncte) b) Sa se determine simetricul fata de inmultire a elementului .

(3 puncte) c) Sa se determine inversa functiei , .

(3 puncte) d) Sa se rezolve in ecuatia .

(3 puncte) e) Sa se calculeze probabilitatea ca un element sa verifice inegalitatea

Se considera functia , .

(3 puncte) a) Sa se calculeze , .

(3 puncte) b) Sa se calculeze .

(3 puncte) c) Sa se calculeze .

(3 puncte) d) Sa se arate ca functia este convexa pe .

(3 puncte) e) Sa se calculeze .

SUBIECTUL III (20 p)

Se considera multimea formata din toate matricele cu 3 linii si 3 coloane, fiecare matrice din avand numai elemente distincte din multimea

(4 puncte) a) Sa se verifice ca si .

(4 puncte) b) Sa se calculeze determinatul matricei .

(4 puncte) c) Sa se gaseasca o matrice astfel incat .

(2 puncte) d) Sa se arate ca, daca , atunci .

(2 puncte) e) Sa se arate ca daca , atunci .

(2 puncte) f) Sa se determine numarul elementelor multimii .

(2 puncte) g) Sa se arate ca, multimea contine cel putin matrice cu determinatul egal cu .

SUBIECTUL IV (20 PUNCTE)

Se considera sirurile si definite prin si , .

(4 puncte) a) Sa se verifice ca , .

(4 puncte) b Sa se calculeze si .

(4 puncte) c) Sa se arate ca .

(2 puncte) d) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca , , .

(2 puncte) e) Sa se arate ca sirul este strict crescator si sirul este strict descrescator.

(2 puncte) f) Sa se arate ca sirurile si sunt convergente.

(2 puncte) g) Sa se arate ca sirurile si sunt au aceeasi limita si limita lor este un numar

din intervalul