Prisma

Prisma

Definitie : Fie S o suprafata poligonala cu frontiera poligon, inclusa intr-un plan a, d o dreapta care nu este paralela cu planul a si nici continuta in acesta, si a un plan paralel cu planul a. Pentru fiecare punct MIS se considera dreapta care trece prin M, paralela cu dreapta D si care intersecteaza planul a intr-un punct M . Multimea formata din reuniunea tuturor segmentelor [MM ] se numeste prisma.

Proprietatea 1. Locul geometric al punctelor M Ia din definitia precedenta este o suprafata poligonala S si S sS.

Demonstratie : Se va arata ca legea M M defineste o izometrie . Intr-adevar, daca M,NIS , M N si M M , N N , rezulta MNN M este paralelogram.

( fig. 1) ( planul (MNM ) taie planele paralele a a dupa doua drepte paralele). Rezulta ca S sS.

Observatie: Daca S=[A₁A₂A₃ . A_n] si A_i A _i,

( i=1,2, . ,n) atunci din demonstratia precedenta rezulta ca S =[A A A . A _n] si au loc urmatoarele relatii: A_iA _i // A_jA _j, [A_iA _i s[A_jA _j], i j, (i,j=1,2, . ,n),A_iA_i+1 // A _iA _i+1, [A_iA_i+1]s[A_iA _i+1],(i=1,2, . ,n-1) si A₁A_n //A A _n , [A₁A_n]s[A A _n] Pentru prescurtare , se va nota prisma cu P=[A₁A₂A₃ . A_nA A A . A _n]. Prisma este determinata daca se dau varfurile ei.

Suprafetele poligonale S, S , [A_iA_i+1A _i+1A _i], (i=1,2, . ,n-1), [A₁A_nA _nA ] se numesc fetele prismei , dintre acestea S si S se mai numesc bazele prismei .In functie de poligonul din care este formata baza unei prisme prismele se mai numesc si triunghiulare( baza triunghi), patrulatere, pentagonale, hexagonale . (baza patrulater, pentagon, hexagon, etc.) . Segmentele [A_iA _i] (i=1,2, . ,n), se numesc muchiile laterale ale prismei, laturile care formeaza poligoanele celor doua baze sunt de asemenea muchii ale prismei si se mai numesc si muchiile bazelor, iar punctele Ai,A _i (i=1,2, . ,n) se numesc varfurile prismei. Distanta dintre planele bazelor se mai numeste si inaltimea prismei si se noteaza cu I sau h. Prin inaltimea unei prisme se va mai intelege si segmentul determinat de bazele prismei pe perpendiculara comuna. O diagonala a unei prisme este un segment determinat de doua varfuri ale unei prisme care nu apartin aceleiasi fete laterale.

Din demonstratia proprietatii 1 rezulta ca poligoanele care determina fetele laterale ale unei prisme sunt paralelograme. Reuniunea fetelor unei prisme formeaza suprafata sau frontiera prismei . Multimea punctelor unei prisme care nu apartin suprafetei sale formeaza interiorul prismei.

Aria prismei.

Suma ariilor tuturor fetelor laterale unei prisme se numeste aria laterala a prismei si se noteaza cu A_l(P) , iar suma ariilor tuturor fetelor unei prisme se numeste aria totala a prismei si se noteaza cu A_t(P) . Daca vom nota aria unei baze cu A_b atunci evident avem ca A_t (P)= A_l (P) + 2A_b.

Prisma cu muchiile laterale perpendiculare pe planele bazelor se numeste prisma dreapta. Prisma cu poligoanele bazelor paralelograme se numeste paralelipiped. Paralelipipedul drept cu baza dreptunghi se numeste paralelipiped dreptunghic. Daca toate fetele unei prisme patrulatere sunt suprafete patrate prisma se numeste cub. Prisma dreapta cu baza poligon regulat se numeste prisma regulata.

Sectiuni in prisma.

Se considera o prisma P = [A₁A₂A₃ . A_nA A A . A _n] si un plan b. Daca intersectia dintre prisma si plan nu este vida , atunci multimea b P se numeste sectiune prismei prin planul b. Se foloseste in acest caz si exprimarea : planul b sectioneaza prisma.(fig.2) Dintre diversele sectiuni ale unei prisme, un rol important il au sectiunile prin plane paralele cu bazele.

Fie o prisma P de baze S si S si inaltime I. Un plan b paralel cu bazele, la distanta I₁ d e baza S , I₁ < I si situat in acelasi semispatiu cu baza S fata de S, sectioneaza prisma P, deoarece, de exemplu pe fiecare muchie laterala a prismei exista un punct al planului b. Aceasta sectiune se numeste sectiunea prismei printr-un plan situat la distanta I₁ de baza S. Se poare considera ca intersectia prismei cu planul bazei este sectiunea printr-un plan situat la distanta I₁=0 sau I₁=I de baza S.

Proprietatea 2: Sectiunea unei prisme de inaltime de inaltime I printr-un plan paralel cu bazele situat la distanta I₁ I fata de una din baze este o suprafata poligonala congruenta cu bazele prismei.(fig. 3)

Demonstratie Se aplica proprietatea 1 in care planul a se inlocuieste cu planul b

Prin sectionarea unei prisme printr-un plan paralel cu planele bazelor, distinct de acestea, se obtin doua prisma P si P care au o baza comuna S , au interioarele disjuncte si P=P P

Dintre celelalte sectiuni ale unei prisme printr-un plan se definesc sectiunile diagonale, care sunt sectiunile prin plane paralele cu muchiile laterale si contin cate o diagonala a bazei.