Programul de Cercetare Stiintifica - Optimizari si dinamica geometrica pe varietati Riemann

Universitatea POLITEHNICA din Bucuresti

Rectorat -Biroul Doctorat

Aprobat in Biroul Consiliului profesoral al Facultatii de Stiinte Aplicate/Departamentul de Matematica si Fizica, in ziua de . . . . . . . . . . . . ..

Decan,

Programul de Cercetare Stiintifica

Optimizari si dinamica geometrica pe varietati Riemann

al doctorandului : Surcel Dragos-Gabriel

Domeniul fundamental de doctorat : Stiinte Exacte

Domeniul de doctorat : Matematica

Forma de invatamant : Cu Frecventa

Regim fara / cu taxa de scolarizare : Fara taxa de scolarizare

Data inceperii Programului de Cercetare Stiintifica : 01.10.2007

Tema tezei de doctorat : Dinamica geometrica si optimizari pe varietati Riemann

Studiu individual

Etapa 1

Cartea I Manfredo Perdigao Do Carmo, Riemannian Geometry,Mathematics :Theory and Applications, Birkhauser Boston, 1992.

In aceata carte se prezinta notiuni si teoreme fundamentale din geometria riemanniana insistand asupra conexiunilor, geodezicelor si curburi si ajungand pana la studiul spatiilor cu curbura constanta si a variatiilor energiei. O buna parte a studiului geometriei riemanniene consta in intelegerea legaturilor intre geodezice si curbura, iar campurile Jacobi introduse in capitolul 5 sunt o unealta importanta pentru aceasta intelegere. Cartea ne prezinta si cateva aspecte globale ale geometriei riemanniene si accentueaza unele tehnici de Calcul Variational. In incheiere este prezentata una din cele mai remarcabile aplicatii ale acestor tehnici de Calcul Variational: Teorema Sferei si un studiu al grupului fundamental al unei varietati compacte cu curbura negativa.

Obiective stiintifice:

Varietati diferentiabile

Metrici riemanniene

Conexiuni afine; conexiuni riemanniene

Geodezice; vecinatati convexe

Curbura

Campuri Jacobi

Imersii izometrice

Varietati complete; teoremele Hopf-Rinow si Hadamard

Spatii cu curbura constanta

Variatii de energie

Teorema Rauch

Teorema indexului

Grupul fundamental al varietatilor cu curbura negativa

Teorema sferei

Cartea II Constantin Udriste, Geometric Dynamics, Kluwer Academic Publishers, 2000

Cartea are la baza descoperirea ca o linie de camp este o geodezica a unei structuri geometrice atasate unui spatiu dat. Sunt create varietati Riemann-Jacobi, Riemann-Jacobi-Lagrange sau Finsler-Jacobi unde toate traiectoriile unui camp vectorial dat sunt geodezice. Liniile de camp, descrise fie ca solutii

ale unei probleme Cauchy asociate unui sistem diferential autonom de ordinul 1, fie ca solutii ale unor probleme Cauchy oarecare asociate unor prelungiri conservative de ordinul 2 ale sistemelor initiale, apar intr-un mod natural in probleme de mecanica teoretica, mecanica fluidelor, fizica sau termodinamica.

Un capitol important al acestei carti este: Dinamica indusa pe un camp de vectori, unde energia unui camp de vectori este creata de campul respectiv si de structura Euclidiana pe spatiul vectorial real n dimensional. Investigarea variatiei de energie dealungul liniilor de camp este o noua idee care atrage atentia cercetatorilor, deoarece ea conduce la informatii suplimentare despre fenomenele a caror evolutie locala este descrisa printr-un camp de vectori.

Obiective stiintifice:

Campuri vectoriale

Campuri vectoriale particulare

Linii de camp

Stabilitatea punctelor de echilibru

Sisteme diferentiale potentiale de ordinul intai si teoria catastrofelor

Hipersuprafete de camp

Teoria bifurcatiei

Subvarietati ortogonale la liniile de camp

Dinamica indusa de un camp vectorial

Sisteme dinamice magnetice si Conjectura Sabba Stefanescu

Raport stiintific numarul 1: Dinamica geometrica pe varietati Riemann

Data sustinerii raportului: 20. 06. 2008

Etapa 2

Cartea I Constantin Udriste, Convex Functions and Optimization Methods on Riemannian

Manifolds, Mathematics and Its Applications, Volume 297, Kluwer Academic Publishers, 1994

Aceasta carte ne introduce in teoria functiilor convexe si a sistemelor dinamice si ne prezinta cativa algoritmi numerici de descrestere si cateva programe de calculator pe varietati riemanniene. Conceptul de convexitate joaca un rol foarte important in teoria optimizarii, in primul rand deoarece multe functii obiectiv sunt convexe intr-o vecinatate suficient de mica a unui punct de minim local, iar in al doilea rand deoarece convergenta metodelor numerice pentru estimarea punctelor de minim local poate fi stabilita prin functii obiectiv convexe. Cartea ne convinge ca studiul convexitatii pe spatii Euclidiene nu este suficient si ca structurile Riemanniene au un rol foarte important in dezvaluirea tuturor consecintelor teoriei functiilor convexe.

Obiective stiintifice:

Proprietatile metricii pe varietati Riemann

Prima si a doua variatie a p-energiei unei curbe

Functii convexe pe varietati Riemann

Exemple geometrice de functii convexe

Fluxuri, convexitate si energii

Hessiene semidefinite si aplicatii

Minimizarea functiilor pe varietati Riemann

Cartea II Tamas Rapcsak, Smooth nonlinear optimization in R^n, Kluwer Academic Publishers, 1997

Aceasta carte     este strans legata de cartea anterioara si prezinta probleme de optimizare liniara si nonliniara. In optimizarea nonliniara, cercetarile tintesc la rezolvarea si implementarea algoritmilor pe calculator precum si la aplicatiile practice. Principalul scop al cartii este de a demonstra utilitatea problemelor speciale nonconvexe si a notiunilor de geometrie diferentiala in cazul neted. Se prezinta deasemenea conditii necesare si suficiente de optimizare nonliniara, precum si unele clase de functii speciale.

Obiective stiintifice:

Probleme de optimizare nonliniara

Conditii de optimalitate

Deducerea conditiilor clasice de optimalitate in optimizarea nonliniara

Functii convexe geodezice

Sisteme complementare liniare

Reprezentari de coordonate nonliniare

Tensori in optimizare

Convexitate geodezica pe R^n

Metodele metricii variabile de alungul geodezicelor

Metodele metricii polinomiale variabile pentru optimizare liniara

Clase speciale de functii

Problema Fenchel

O imbunatatire a metodei multiplicatorilor lui Lagrange pentru probleme de optimizare

Raport stiintific numarul 2: Optimizari pe varietati Riemann

Data sustinerii raportului: 27. 11. 2008

REZULTATE ESTIMATE:

Primul obiectiv este insusirea notiunilor prezentate in cartile selectate pentru studiul individual si in alte carti si articole pe aceste teme.

Al doilea obiectiv este gasirea unor varietati Riemann cu anumite proprietati. In particular, plecand de la niste curbe date, ne punem problema existentei unei conexiuni Riemanniene pentru care aceste curbe sa fie geodezice.

Al treilea obiectiv este studiul energiei campurilor tensoriale si al dinamicii geometrice induse. Ne propunem sa regandim teoria din cartea: Geometric Dynamics, capitolul : "Dynamics induced by a vector field" de Constantin Udriste, trecand de la R^n la un spatiu Riemannian. Rezultatele finale vor include: ecuatii diferentiale de miscare in forma Hamiltoniana si Lagrangiana, studiul energiei unor campuri tensoriale, dinamica indusa de diferite campuri vectoriale (Killing, conforme, etc).

Multi matematicieni s-au intrebat de ce se studiaza teorii referitoare la dinamica geometrica indusa de unele campuri vectoriale sau la convexitate pe varietati Riemann. Nu este suficient studiul lor pe spatiile Euclidiene? Au aceste teorii aplicatii care le justifica? Prin Teza noastra de doctorat vom da raspunsuri acestor intrebari si vom intari rezultatele obtinute de domnul profesor Constantin Udriste in aceasta directie.

Conducator stiintific, Doctorand,

Prof. dr. ing. Constantin Udriste

Data intocmirii programului,