Subiecte bacalaureat - proba scrisa la matematica

SUBIECTE BACALAUREAT

PROBA SCRISA LA MATEMATICA

Sesiunea iunie - iulie

PROBA D.M₁:Filiera Teoretica,sp.Stiinte ale naturii;Filiera Tehnologica, profilul Tehnic, toate specializarile

NOTA: Toate subiectele sunt obligatorii. Se acorda 10 puncte din oficiu.Timp de lucru 3 ore.

Varianta 3

SUBIECTUL I ( 30p )

Pentru intrebarile 1 - 5 scrieti litera corespunzatoare raspunsului corect pe foaia de examen

(3p)    1.Cate submultimi cu 2 elemente are o multime cu 5 elemente?

a) 10; b) 25; c) 32; d) 20

(3p) 2. In cate moduri se pot permuta cele 4 litere a,b,c,d astfel incat literele a si b sa fei mereu alaturate? ( De exemplu c,d,a,b si c,a,b,d sunt corecte).

a) 20; b) 12; c) 24; d) 6

(3p) 3.Cate radacini rationale are polinomul X³ + X² + X + 1?

a) 3; b) 2; c) 1; d) 0

(3p) 4. Care este suma radacinilor polinomului X³ + X² + X + 1?

a) 1; b) 0; c) 3; d) -1

(3p) 5. Care este produsul radacinilor polinomului X³ + X² + X + 1?

a) 1; b) -1; c) 3; d) -3

Pentru intrebarile 6 - 10 scrieti doar raspunsurile pe foaia de examen

Se considera functia .

(3p) 6. Cat este

(3p) 7. Cat este

(3p) 8.Cate puncte de extrem local are functia f?

(3p) 9.Cat este

(3p) 10. Cat este

Pentru subiectele II - IV se cer rezolvarile complete

SUBIECTUL II ( 20p )

In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele

Notam multimea cu M.

Spunem ca o multime P cu 2n,,puncte distincte din plan este "echilibrata " daca poate fi imparti-ta in 2 submultimi R si Q, disjuncte, cu cate n elemente si cu proprietatea ca suma absciselor punctelor din multimea R este egala cu suma absciselor punctelor din multimea Q, iar suma ordonatelor punctelor din multimea R este egala cu suma ordonatelor punctelor din multimea Q.

(4p) a) Sa se calculeze suma absciselor punctelor din multimea M.

(4p) b) Sa se calculeze suma ordonatelor punctelor din multimea M.

(4p) c) Sa se arate ca orice multime formata din 2 puncte distincte din plan nu este "echilibrata".

(4p) d) Sa se gaseasca o multime "echilibrata", formata din 4 puncte distincte din plan.

(2p) e) Sa se arate ca multimea este "echilibrata".

(2p) f) Sa se arate ca pentru orice punct multimea nu este "echilibrata".

SUBIECTUL III ( 20p )

In multimea se considera submultimea si matricele

(4p) a) Sa se verifice ca

(4p) b) Sa se arate ca daca atunci

(4p) c) Sa se arate ca daca atunci

(4p) d) Sa se arate ca daca atunci det(X)

(2p) e) Sa se gaseasca doua matrice astfel incat

(2p) f) Sa se gaseasca o matrice , cu proprietatea

SUBIECTUL IV ( 20p )

Se considera functia

(4p) a) Sa se calculeze

(4p) b) Sa se calculeze

(4p) c) Sa se arate ca f este strict descrescatoare pe R.

(2p) d) Sa se determine asimptota la graficul functiei f catre -

(4p) e) Sa se arate ca functia f este convexa pe R.

(2p) f) Sa se calculeze

MATEMATICA

BAREM DE CORECTARE

Sesiunea iunie - iulie 2004

Programa M₁.Proba D.Filiera teoretica, specializarea Stiinte ale naturii;Filiera tehnologica,profil Tehnic, toate specializarile.

Nota:

Pentru orice solutie corecta, diferita de cea din barem, se acorda punctajul maxim corespunzator.

Nu se acorda fractiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvari partiale, in limitele punctajului indicat in barem

Oficiu (10p)

II.(20p) a) (4p) Calculul sumei

b) (4p) Calculul sumei

c) (4p) Rezolvarea cerintei

d) (4p) Gasirea multimii

e) (2p) Demonstrarea cerintei

III.(20p) a) (4p) Cate (2p) pentru fiecare verificare

b) (4p) Cate (1p) pentru fiecare element al produsului

c) (4p) Cate (1p) pentru fiecare element al sumei

d) (4p) (2p) Calculul determinantului;(2p) Finalizare

e) (2p) Gasirea matricelor

IV.(20p) a) (4p) Calculul derivatei

b) (4p) Calculul limitei

c) (4p) Demonstrarea monotoniei

d) (2p) Determinarea asimptotei

e) (4p) (2p)Calculul derivatei a doua;(2p) Finalizare

BAREM RAFINAT (dupa care se corecteaza )

Subiectul I(30p): Analog ca mai sus

Subiectul II(20p):

a)      Scrierea coordonatelor punctelor din multimea M . . . . . . . . 2p

Calculul sumei absciselor = 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

b)     Calculul sumei ordonatelor = 18 . . . . . . . . . . . . . . . 4p

c)      . . . . . . . . . 2p

Presupunem M echilibrata (contradictie) . . . . .. 2p

Obs: Da un exemplu de multime cu 2 pct. Distincte si arata ca nu este echilibrata . . 2p

d)     Exemplu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..4p

e)      Scrie cine este . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

Demonstreaza ca multimea este echilibrata . . . . . . . . . . . . .1p

Subiectul III(20p):

a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..2p

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..2p

b) Pentru fiecare element corect calculat al sumei se acorda 1p . . . . 4p

c) Pentru fiecare element corect calculat al sumei se acorda 1p . . . . .4p

d) Calculeaza detX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Ecuatia nu are solutii in Z . . . . . . . . . . . . .2p

e) Scrierea explicita a relatiei . . . . . . . . . . . . . . . . . ..1p

Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

f)       Scrie ecuatia . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Subiectul IV(20p):

a)      Formula de derivare a functiei radical . . . . . . . . . . . . . . 2p

Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

b)     Obs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

Eliminarea nedeterminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Calculeaza limita = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p

c)      Obs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p

Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

d)     Scrie asimptota oblica y = mx + n . . . . . . . . . . . . . . . .1p

Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

e)      Calculeaza sau observa ca este crescatoare . . . . . . . . . .2p

Finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

f)       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

Calculeaza si finalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

TOTAL 100 p

PROBA SCRISA LA MATEMATICA

Sesiunea august - septembrie 2004

PROBA D.M₁:Filiera Teoretica, sp.Stiinte ale naturii;Filiera Tehnologica, profilul Tehnic, toate specializarile

NOTA.Toate subiectele sunt obligatorii.Se vacorda 10 puncte din oficiu.Timp de lucru 3 ore.

Varianta 1

SUBIECTUL I ( 30p )

Pentru intrebarile 1 - 5 scrieti litera corespunzatoare raspunsului corect pe foaia de examen

Polinomul are radacinile .Notam cu

(3p) 1. Care este restul impartirii polinomului la polinomul

a) X; b) 1; c) 0; d) - X

(3p) 2. Cat este modulul radacinii x₁?

a) b) 2; c) 0 ; d)

(3p) 3. Cat este

a) b) 1; c) -1; d) 2

(3p) 4. Cat este S₃ ?

a) b) 2; c) 0; d) -1

(3p) 5. Care este probabilitatea ca S_n sa fie egal cu 2 cand

a) ; b) 0,4; c) 0,2; d) 0,8

Pentru intrebarile 6 - 10 scrieti doar raspunsurile pe foaia de examen

Se consi dera functia

(3p) 6. Cat este

(3p) 7. Cat este

(3p) 8. Cate puncte de inflexiune are graficul functiei f ?

(3p) 9. Cate puncte de extrem local are functia f ?

(3p) 10. Care este aria suprafetei plane cuprinsa intre graficul functiei f, axa Ox si dreptele de ecuatie x = 0 si x = 1 ?

Pentru subiectele II - IV se cer rezolvarile complete

SUBIECTUL II ( 20p )

Intr-un plan se considera un triunghi ABC si L un punct pe segmentul (BC).Se mai considera patru- laterul convex MNPQ, iar R si S sunt mijloacele diagonalelor MP si NQ.

(4p) a) Sa se determine , astfel incat sa avem egalitatea:

(4p) b) Sa se determine , astfel incat sa avem egalitatea:

(4p) c) Utilizand relatiile de la punctele a) si b), sa se arate ca:

(4p) d) Sa se arate ca, daca D este mijlocul laturii Bc, atunci:

(2p) e) Sa se arate ca

(2p) f) Utilizand relatia de la punctul d) in triunghiurile MNQ si PNQ si relatia de la punctul e), sa se arate ca:

SUBIECTUL III ( 20p )

Se considera polinomul avand forma algebrica

(4p) a) Sa se calculeze f(0).

(4p) b) Sa se determine a₁₀ si a₉.

(4p) c) Sa se calculeze suma coeficientilor polinomului f.

(4p) d) Sa se arate ca polinomul f are toti coeficientii numere reale.

(2p) e) Sa se arate ca, daca este o radacina a lui f, atunci

(2p) f) Sa se arate ca polinomul f are numai radacini reale.

SUBIECTUL IV ( 20p )

Se considera functia

(4p) a) Sa se calculeze

(4p) b) Sa se calculeze

(4p) c) Sa se arate ca functia f este convexa pe R.

(2p) d) Sa se arate ca R

(4p) e) Sa se calculeze

(2p) f) Sa se arate ca

PROBA SCRISA LA MATEMATICA

Sesiunea iunie - iulie 2004

PROBA D.M₁:Filiera Teoretica: sp.:matematica-informatica.Filiera Vocationala, profil Militar,specializarea matematica-informatica

NOTA. Toate subiectele sunt obligatorii.Se acorda 10 puncte din oficiu.Timp de lucruefectiv 3 ore.

Varianta 3

SUBIECTUL I ( 30p )

Pentru intrebarile 1 - 5 scrieti litera corespunzatoare raspunsului corect pe foaia de examen

(3p) 1. Care este restul impartirii polinomului X⁵ - 1 la polinomul X⁴ + X³ + X² + X + 1?

a) 0; b) 1; c) -1; d) X

(3p) 2. Cate submultimi cu 2 elemente are o multime cu 5 elemente ?

a) b) 5; c) 20; d) 10

(3p) 3.Cat este suma in grupul

a ; b) ; c) ; d)

(3p) 4. Care este probabilitatea ca un element al inelului Z₁₀ sa fie inversabil fata de inmultire ?

a) ; b) 0,3; c) 0,5; d) 0,6

(3p) 5. Cate solutii reale are ecuatia 2^x = 3^x ?

a) b) 1; c) 2; d) 3

Pentru intrebarile 6 - 10 scrieti doar raspunsurile pe foaia de examen

Se considera functia .

(3p) 6.Cat este R ?

(3p) 7. Care este aria suprafetei plane cuprinsa intre graficul functiei f, axa Ox si dreptele x = 0 si

x = 1 ?

(3p) 8. Cate puncte de inflexiune are graficul functiei f ?

(3p) 9. Cat este

(3p) 10. Cate puncte de extrem local are functia f ?

Pentru subiectele II - IV se cer rezolvarile complete

SUBIECTUL II ( 20p )

Intr-un plan se considera triunghiul ABC si punctele D,E(BC), astfel incat .

Daca XYZ este un triunghi , notam cu S_XYZ suprafata sa.

(4p) a) Sa se determine numarul real x, pentru care avem egalitatea

(4p) b) Sa se arate ca:

(4p) c) Sa se arate ca:

(4p) d) Sa se calculeze expresia

(2p) e) Sa se arate ca, daca in plus, AE este mediana, atunci

(2p) f) Sa se arate ca daca punctele M,N(BC) si

SUBIECTUL III ( 20p )

Se considera matricele

(4p) a) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A.

(4p) b) Daca sa se calculeze matricea S = A - XY.

(4p) c) Sa se verifice ca A² = 10A.

(4p) d) Sa se arate ca matricea B este inversabila si inversa sa este matricea

(2p) e) Sa se gaseasca trei matrice U,V,Wde rang 1, astfel incat B = U + V = W.

(2p) f) Sa se arate ca oricare ar fi doua matrice, C,Dde rang 1, avem C + D B.

SUBIECTIL IV ( 20p )

Se considera functiile definite prin si ,

(4p) a) Sa se verifice ca

(4p) b) Sa se calculeze

(2p) c) Utilizand metoda inductiei matematice, sa se arate ca:

(4p) d) Sa se arate ca graficul functiei nu are asimptota catre .

(2p) e) Sa se arate ca ( Reamintim ca 0! =

(2p) f) Sa se arate ca

(2p) g) Sa se arate ca

Ce parere aveti ?

Oricum, mult succes la bacalaureat !