Serii de puteri. Exemple

Serii de puteri. Exemple

. Fie seria de puteri avand raza convergenta egala cu . Atunci seria suma

,

are raza de convergenta .

. Fie seriile de puteri si care sunt convergente si au razele de convergenta si respectiv si . Atunci .

Solutie. Presupunem ca seriile de puteri si converg simultan in . Atunci, seria suma converge in si deci . Aratam ca nu poate fi strict mai mare decat . In adevar, daca atunci, putem alege astfel incat si atunci seria numerica este divergenta iar seriile si sunt convergente. Aceasta concluzie este imposibila deoarece .

. Fie seriile de puteri avand razele de convergenta , respectiv . Admitem ca este raza de convergenta a seriei suma , iar este raza de convergenta a seriei produs .

i). Dati exemple de serii de puteri astfel incat R sa fie superior lui .

ii).Dati exemple de serii de puteri astfel incat sa fie superior lui inf.

Indicatie. i). Este necesar ca . Fie si b_n=1 atunci, seriile de puteri si au razele de convergenta egale, si, in consecinta, aceste serii sunt convergente in multimea .

Seria suma , este convergenta si are raza de convergenta .

ii). Fie seria (este serie de puteri care are toti coeficientii nuli, pentru ). Aceasta serie, care se reduce la un polinom de gradul al treilea, are raza de convergenta .

Seria de puteri (cu coeficientii , ( ) nIN), are raza de convergenta si pentru orice , avem .

Scriind seria produs gasim, pentru coeficientii , valoriile

Asadar, deducem ca seria produs are forma , cu raza de convergenta .

Pe de alta parte seria produs capata forma:

si poate fi scrisa numai pentru , cu .