Concepte de baza folosite de statistica - Inegalitatea lui Cebasev - Teorema lui Cebasev - Teorema lui Bernoulli - Teorema lui Poisso

Concepte de baza folosite de statistica - Inegalitatea lui Cebasev - Teorema lui Cebasev - Teorema lui Bernoulli - Teorema lui Poisso

In procesul studiului fenomenelor social-economice, metodologia statistica opereaza cu notiuni specifice al caror continut trebuie inteles in mod corect pentru a putea da o interpretare adecvata a rezultatelor obtinute prin prelucrarea datelor statistice.

Populatia statistica reprezinta ansamblul elementelor care au una sau mai multe caracteristici comune, cu o existenta obiectiva si localizata clar in timp si spatiu

Din punct de vedere al terminologiei practice pentru conceptul de populatie statistica se foloseste, cu acelasi continut, notiunea de fenomen de masa sau calectivitate statistica.

Unitatea de observare statistica este elementul component al populatiei statistice la care se particularizeaza nivelul individual al caracteristicilor statistice.

Unitatile statistice au o forma de existenta care poate fi simpla sau complexa. Unitatile simple sunt reprezentate printr-un singur element structural obiectiv, cum ar fi de exemplu persoana, produsul, piesa etc., in timp ce unitatile complexe sunt formate din mai multe unitati simple, ca de exemplu: familia, intreprinderea etc..

Caracteristica statistica este acea insusire comuna tuturor unitatilor populatiei statistice supusa cercetarii ale carei valori difera de la o unitate statistica la alta sau de la un grup de unitati la altul. Caracteristicile statistice sunt specifice, ca forma si continut, tipologiei de existenta a unitatilor statistice. Daca unitatea statistica este persoana, caracteristicile asociate sunt: varsta, sexul, profesia, starea civila etc..

Caracteristicile statistice pot fi clasificate in functie de mai multe criterii, astfel:

- dupa continutul caracteristicilor,

numerice sau cantitative

- exprimate prin cuvinte (legate de natura unitatilor statistice)

- de spatiu (exprima particularitatea unitatilor statistice de a exista intr-un anumit punct al spatiului)

- de timp (exprima particularitatea unitatilor statistice de a fi aparut la un anumit moment sau de a fi existat un anumit interval de timp)

- dupa modul de prezentare al caracteristicilor numerice,

- pe variante (discreta sau prezentare in numere intregi)

- pe intervale (continua)

- dupa modul in care se manifesta,

forma alternativa (caracteristica cu doua variante de manifestare)

- forma nealternativa (caracteristica cu mai mult de doua variante de manifestare)

Totalitatea caracteristicilor statistice care fac obiectul unei cercetari statistice formeaza “programul observarii”.

Varianta este nivelul individual al caracteristicii statisticii asociat unei unitati statistice sau unui grup de unitati.

Frecventa este numarul de unitati statistice la care se inregistreaza o varianta a caracteristicii.

Indicatorul statistic este expresia numerica a unei determinari calitative obiective rezultata in urma unei cercetari statistice.

Forma indicatorilor statistice depinde de gradul de prelucrare la care au fost supuse datele initiale, astfel:

- indicatori absoluti

- indicatori relativi

- indicatori medii

Legea numerelor mari are:

- o forma generala de manifestare prin caracterul real al legitatilor statistice si respectiv,

- o forma specifica care este exprimata printr-un grup de teoreme ale teoriei probabilitatilor:

Inegalitatea lui Cebasev

- Teorema lui Cebasev

- Teorema lui Bernoulli

- Teorema lui Poisson

Inegalitatea lui Cebasev dimensioneaza o limita inferioara a probabilitatii ca valoarea medie, necunoscuta, a caracteristicii studiate in colectivitatea generala, , sa ia o valoare in intervalul, , unde este valoarea medie a caracteristicii X calculata pe baza datelor obtinute prin sondaj. In practica, se exprima in unitati egale cu eroarea medie de sondaj a valorii medii, ,, adica, , si este corespondentul erorii limita sau a erorii maxime admise in cercetare, . Prin urmare, inegalitatea lui Cebasev este utilizata la calculul intervalelor de incredere pentru valoarea medie a unei caracteristici detinuta de unitatile colectivitatii generale, , astfel,

Cand volumul esantionului constituit prin aplicarea unor procedee aleatorii de sondaj, depaseste limita de 40 de unitati sau de observatii, diferenta dintre valoarea medie obtinuta pe baza sondajului, , si media colectivitatii generale, , converge catre o repartitie normala, fara alte conditii restrictive. In acest caz, k, este o variabila normala normata, z, cu media zero si dispersia egala cu unitatea, iar inegalitatea lui Cebasev poate fi scrisa astfel,

Teorema lui Cebasev are, de asemenea, o importanta deosebita in teoria sondajelor si a estimatiilor deoarece prin enuntul ei se explica cand o estimatie este nedistorsionata, deci cand o estimatie, calculata pe baza datelor obtinute prin sondaj, nu este afectata de erori care nu pot fi calculate.

Enuntul teoremei lui Cebasev poate fi sintetizat astfel: valoarea medie a mediilor tuturor esantioanelor posibil a fi formate prin procedee aleatorii de extragere este egala cu media caracteristicii respective calculata la nivelul colectivitatii generale.

in care,

este valoarea medie a caracteristicii studiate calculata pe baza esantionului i

Teorema lui Bernoulli are urmatorul enunt: daca se fac n experimente sau n extrageri de unitati de sondaj dintr-o populatie statistica, folosind procedee aleatorii de extragere, probabilitatea de a obtine un rezultat cat mai apropiat de structura reala a populatiei statistice creste odata cu numarul de extrageri, apropiindu-se de certitudine la infinit, adica,

, in care

f - frecventa relativa calculata pe baza sondajului,

p - probabilitatea, necunoscuta, a aceluiasi eveniment sau a aceleiasi stari existenta in colectivitatea generala,

n - numarul unitatilor care formeaza esantionul.

Teorema lui Poisson. Teorema lui Poisson este o generalizare a teoremei lui Bernoulli. Poisson considera ca f tinde catre p in probabilitate”

atunci,