Fenomene de transfer - teorema lui buckingham

FENOMENE DE TRANSFER

I.           INTRODUCERE IN STUDIEREA FENOMENELOR DE TRANSFER CU APLICATII TEHNICE

Obiectul si importanta studierii fenomenelor de transfer in tehnica

FENOMEN = manifestare exterioara a esentei unui lucru , unui proces care este accesibila, perceptibila in mod direct. Proces, transformare, evolutie, efect al unei actiuni.

Prin cursul "Fenomene de transfer" urmarim sa prezentam o serie de fenomene care au loc in sistemele materiale si o serie de mijloace prin care pot fi definite sistemele materiale aplicate in industrie.

Acest obiect isi propune sa adanceasca aspectele legate de aplicabilitatea industriala a unei teorii ale fizicii, sau altfel spus, acest obiect este o prelungire a fizicii in tehnica.

In notiunea generala de fenomene de transfer se incadreaza o serie de fenomene ca: transferul cantitatii de miscare sau de impuls, transferul de caldura, transferul de substanta in care se incadreaza si transferul realizat pe baza reactiilor chimice si prin metabolismul biologic, transportul electricitatii, transportul nervos, transferul de informatii, transferul genetic, etc.

In cadrul acestui curs se vor analiza numai primele trei fenomene de transfer, celelalte apartinand altor discipline.

Importanta studierii fenomenelor de transfer consta din aceea ca prin intelegerea aprofundata a acestora si a metodelor de abordare a problemelor, in final se poate trece la optimizarea acestor fenomene si deci la optimizarea instalatiilor industriale a caror functionare se bazeaza pe aceste fenomene de transfer.

Inaintea tratarii celor trei fenomene de transfer se vor trata ca metode de investigare si tratare a problemelor: analiza dimensionala, similitudinea, modelarea si teoria modelelor matematice, iar ca mijloace de definire a sistemelor materiale in care au loc fenomenele de transfer, problema bilanturilor: bilantul de materiale, bilantul energetic si ca un caz particular, bilantul caloric.

Analiza dimensionala

Pentru conducerea proceselor tehnologice este necesara cunoasterea, cantitativa si calitativa, atat a substantelor care intervin cat si a fenomenelor ce au loc.

De multe ori, trebuie efectuate numeroase experimentari, in urma carora sa se stabileasca o tehnologie. Pentru a reduce numarul experimentarilor si pentru generalizarea rezultatelor, utilizam analiza dimensionala, similitudine, modele matematice.

Analiza dimensionala → Similitudine → Model matematic →

→ Simulare numerica → Validare model / Corectare model

(predictie)

Analiza dimensionala = ansamblul de cunostiinte si metode pentru tratarea unor elemente de

inginerie, cu ajutorul formulelor dimensionale ale marimilor fizice.

Regula: Relatiile matematice care descriu fenomene, procese, sunt dimensional omogene (partea din stanga este egala cu partea din dreapta din punct de vedere dimensional).

→ Expresia prin care se exprima o marime, functie de unitatile fundamentale <=> ecuatie de dimensiuni sau ecuatie dimensionala.

Ecuatia dimensionala = model matematic de exprimare a unei marimi oarecare in functie de alte marimi exprimate in unitati fundamentale ale S.I.

Ca sistem de unitati de masura s-a adoptat S.I. - sistemul international de unitati in 1960 pe plan mondial si din 1961 la noi in tara.

Considerand cele 4 unitati fundamentale:

lungime L (m)

masa M (kg)    => orice marime poate fi exprimata prin

timp T (s)    ecuatia de dimenisiuni :

temperatura θ (K)    x = L^a · M^b · T^c · θ^d

L, M, T, θ = marimile exprimate in unitati fundamentale

a, b, c, d = exponenti

(cand sunt = 0, marimea respectiva nu intervine in ecuatia de dimensiuni)

Aplicatiile analizei dimensionale in tehnica

Verificarea corectitudinii unei relatii dpdv dimensional si al unitatilor particulare

P = ; W = ;

Trebuie sa avem acelasi multiplu sau submultiplu al unitatii fundamentale si in stanga si in dreapta relatiei matematice.

=

Deducerea ecuatiei de dimensiuni a factorilor sau constantelor numerice care intervin in relatiei:

Ex: L^a · M^b · T^c · θ^d = f · L^e · Mⁱ · T^m · θⁿ

=> f = L^a-e · M^b-i · T^c-m · θ^d-n

Pe baza ecuatiei dimensionale a factorului f se poate trage concluzii asupra naturii

Stabilirea valorii numerice a factorului de trecere a unei marimi de o unitate de masura (multiplu sau submultiplu) la alta, sau dintr-un sistem de unitati fundamentale la altul (S.I. → MKJS)

x₁ = L₁^a · M₁^b · T₁^c · θ₁^d (exprimare in sistemul 1)

x₂ = L₂^a · M₂^b · T₂^c · θ₂^d (exprimare in sistemul 2)

Pentru trecerea de la sistemul 2 la sistemul 1, determinam valoarea numerica N, care sa satisfaca conditia:

x₁ = N · x₂

=> N = = ( )^a · ()^b · ()^c · ()^d

Ex: L₁ = cm    => =

L₂ = m

Teorema π sau TEOREMA LUI BUCKINGHAM - teorema fundamentala a analizei dimensionale

O aplicatie de mare utilitate practica consta este folosirea analizei dimensionale pentru stabilirea formei generale a ecuatiilor care descriu fenomene complexe, dependente de un mare numar de variabile.

Etapele aplicarii analizei dimensionale:

stabilirea marimilor fizice care influenteaza evolutia fenomenului studiat;

Cu ajutorul analizei dimensionale, respectiv a teoremei π, se poate scrie o relatie matematica a fenomenului luat in studiu, insa pentru ca relatia sa poata fi utilizata in calcule tehnice este necesara o experienta, in vederea stabilirii constantelor si exponentilor care intervin in relatie.

Utilizarea teoremei π => obtinerea unei relatii care sa poata fi complet definita printr-un numar redus de experimentari.

Prin aceasta teorema, marimile sau parametrii care influenteaza fenomenul de studiat sunt grupate in grupuri de marimi fara dimensiuni, in parametrii mai complecsi, dar nedimensionate.

Aceasta grupare se bazeaza pe teorema π sau teorema lui Buckingham = teorema fundamentala a analizei dimensionale.

Un fenomen sau proces poate fi descris de o functie nedeterminata, caracteristica acestuia, functia continand toti parametrii care il influenteaza si anume:

F = f (v, l, ρ, p, η, . ) (1)

Prin aplicarea teoremei π, functia nedeterminata de mai sus prezentata poate fi adusa la o ecuatie de parametrii adimensionali de forma:

φ = (N₁, N₂, N₃,) = constant (2)

Conform teoremei π => n = m - u

unde n = numarul de parametrii nedimensionali independenti care definesc relatia (2);

m = numarul de parametrii cuprinsi in functia de forma generala (1);

u = numarul de marimi fundamentale care intra in ecuatiile din definitie ale celor n parametrii nedimensionali (determinati):

Pentru - fenomene determinate de parametrii mecanici: u = 3 (L, M, T)

- fenomene tehnice: u = 4 (L, M, T q

- fenomene electrotermice : u = 5 (L, M, T, q, I)

Teorema p pune conditiile: m > u

n > 1

n < m

Ea nu se poate aplica daca nu se respecta aceste conditii simultan.

Trecerea la ecuatia de parametrii nedimensionali se poate face printr-o cale de simplificare a functiei nedeterminate care caracterizeaza fenomenul sau procesul tehnologic, din punct de vedere matematic simplificarea prin reducerea numarului variabilelor se poate face astfel:

rapoarte intre 2 variabile de aceeasi natura, care au aceeasi ecuatie de dimensiuni (aceeasi natura), aceste rapoarte > SIMPLECSI;

gruparea in parametrii nedimensionali recunoscuti, care intervin in descrierea fenomenului > MULTIPLECSI sau CRITERII DE SIMILITUDINE.

Prin multiplecsi, se micsoreaza numarul de variabile care raman sa fie luate in considerare, cu una pentru fiecare criteriu. Conditia este ca aceasta marime sa intre in ecuatia de definitie a criteriului si in acelasi timp sa fie o marime directoare (sa determin functia generala).

Din cele expuse in cadrul teoremei π, se poate trage urmatoarele concluzii:

Prin analiza dimensionala plecand de la o functie nedeterminata, se poate ajunge la o descriere matematica a fenomenului de studiat data sub forma de parametrii nedimensionali independenti (criterii de similitudine), formati din marimile care influenteaza fenomenul analizat.

Prin descrierea matematica a fenomenului cu ajutorul ecuatiilor de parametrii nedimensionali se reduce mult partea experimentala necesara pentru determinarea valorilor numerice ale constantelor si exponentilor.

Exemplu: Daca un fenomen este influentat de 6 variabile, pentru studiul lui, fara ecuatiile de parametrii nedimensionali, ar trebui sa se mentina cate 5 variabile constante, iar celei de-a sasea sa i se dea valori. Pentru particularizarea functiei care descrie fenomenul ar fi necesare minim 5⁶ = 15650 determinari experimentale (3 determinari/zi = 5150 zile = 17 ani a 300 zile/an).

Transformand insa cu ajutorul analizei dimensionale, functia de marimi in functie de parametrii nedimensionali, pentru fenomenul determinat de 6 marimi in care intervin 3 unitati fundamentale se ajunge la o relatie de trei parametrii nedimensionali. Daca se continua experimentul cu 2 criterii constante si variind pe cel de al 3 lea, numarul necesar de experimentari este doar 2³ = 8.