MODELUL VAN HILTEN

MODELUL VAN HILTEN

Unul dintre cele mai importante modele dezvoltate in literatura de specialitate este acela in care firma este privita ca un sistem dinamic.

Acest model analizeaza corelatia dinamica dintre investitiile facute din profiturile aduse de activele corporale, investitiile facute din credite si politica de dividende a firmei, in conditiile impozitului pe profit.

Ipotezele modelului

Ipoteza 1. Firma are o productie omogena, iar functia de productie este liniara:

(1)

unde:

- sunt bunurile de capital, exprimate valoric. Se face ipoteza ca o unitate de capital este egala cu o unitate monetara (s-a ales drept numerar unitatea de capital);

- reprezinta nivelul productiei, exprimat valoric;

- reprezinta productivitatea medie a capitalului, . Se presupune ca productivitatea medie este egala cu productivitatea marginala, ipoteza din care rezulta functia de productie liniara (1).

Toata productia se presupune ca se vinde, astfel incat stocul de productie finita este zero.

Ipoteza 2. Functia de vanzari S(Q(t) este pozitiva, strict concava si satisface legea veniturilor descrescatoare la scala de fabricatie:

(2)

cu:

- functia de venit;

- functia inversa a cererii (piata produsului finit este cu competitie imperfecta);

(3)

Proprietatile functiei de vanzari arata faptul ca aceasta este crescatoare in raport cu productia si cu randamente descrescatoare la scala. De asemenea, productia nu poate fi negativa.

Ipoteza 3. Singurul input este constituit de bunurile capital. Deprecierea capitalului (amortizarea) este proportionala cu valoarea capitalului a fiind rata de amortizare.

Venitul net din vanzari (profitul brut) este:

(4)

Ipoteza 4. Singurul tip de activare corporale ale firmei, bunurile capital, pot fi finantate din imprumuturi si/sau actiuni:

(5)

unde:

- valoarea actiunilor;

- valoarea creditelor (imprumuturilor).

Se cunosc, de asemenea, valorile initiale ale capitalului actiunilor si imprumuturilor

Ipoteza 5. Cresterea valorii totale a actiunilor (a capitalului social) se realizeaza prin acumulari din profit.

(6)

unde:

- cresterea valorii actiunilor;

- partea din profit utilizat pentru cresterea valorii actiunilor.

Profitul poate fi utilizat pentru investitii si/sau pentru cresterea valorii actiunilor.

(7)

unde:

f - rata de impozitare a profitului corporal;

r rata dobanzii;

valoarea dobanzii;

profitul net dupa impozitare si plata datoriilor

valoarea dividendelor;

acumularile din profit sunt partea care ramane din profiturile corporale, dupa plata impozitului si a dividendelor.

Ipoteza 6. Investitiile nete sunt:

(8)

unde:

investitia bruta;

deprecierea capitalului.

relatia de dinamica a balantei.(9)

Ipoteza 7. Volumul creditului este restrictionat la o pondere din valoarea capitalului social:

(10)

unde:

k = ponderea maxima a imprumutului.

Ipoteza 8. Costurile unitare depind de structura de finantare:

unde indicele N arata tipul de finantare:

N=X finantarea din actiuni (autofinantare);

N=Y finantarea din imprumut maxim;

N=YX finantarea mixta.

Ipoteza 9. Pentru demararea activitatii, venitul marginal in momentul initial depaseste costul marginal (oricare dintre costurile unitare):

S-a facut ipoteza ca costul unitar este egal cu costul marginal.

Ipoteza 10. Firma se dezvolta numai daca venitul net din vanzari este pozitiv:

Ipoteza 11. Piata financiara si piata monetara se considera a fi doua piete distincte, astfel incat preturile pe cele doua piete sunt diferite:

unde:

i este pretul pe piata financiara (considerat ca randament al actiunilor) - dividendele care revin la o unitate monetara platita de actionari pe actiuni; pentru firma i este un cost, este costul unei actiuni: firma trebuie sa asigure pentru fiecare unitate monetara platita de actionari pe actiuni, o revenire i.

este costul unitar al creditului. Intrucat rata de impozitare se aplica dupa plata datoriilor, la o unitate monetara profit net (dupa impozitare), revine mai putin de o unitate monetara dobanda. Este partea dintr-o unitate monetara de profit care revine pentru amortizarea creditului.

Ipoteza 12. Valoarea actiunilor in momentul initial este strict pozitiva:

Performanta modelului: maximizarea valorii firmei calculata ca suma de dividende actualizate pe intervalul si a valorii reale finale a capitalului social.

Variabile de decizie (control):

- investitia bruta

- volumul creditelor;

- valoarea dividendelor.

Variabile de stare:

- valoarea actiunilor;

- valoarea bunurilor capital.

Modelul dinamic al firmei

(11)

(12)

(13)

restrictii liniare asupra starii: (14)

(15)

Observatie: din ipoteza (7) rezulta ca care impreuna cu relatia de balanta conduce la:

restrictii liniare supra comenziis:

restrictii liniare asupra comenzii

Aplicarea principiului lui Pontreaghin

Construim Hamiltonianul problemei:

(20)

Langrangeaul problemei:

(21)

Dinamica variabilelor adjuncte:

(22)

(23)

Conditiile de optim:

(24)

(25)

Conditiile (24) si (25) reprezinta conditii de maximizare a Langrangeanului.

Conditiile Kuhn-ucker.

Eliminam cazurile in care I(t) si D(t) sunt pe limitele artificiale:

a)                          din (24) din (23):

(34)

b) din (25): din (22):

(35)

Calculam profitul marginal:

(36)

Transformam ecuatiile de dinamica ale variabilelor adjuncte in ecuatie de dinamica a multiplicatorului.

Inlocuim in (34) pe si rezultatul obtinut in (36):

(37)

Conditiile de optim devin:

(38)

(39)

Analiza traiectoriilor

Exista 2³=8 traiectorii posibile, dupa variatia (0,+) a celor trei multiplicatori, din care trei sunt neadmisibile.

Traiectorii neadmisibile

1)

contrazice ipoteza

2) din (38) contrazice ipoteza 11.

3) cazul corespunde la aceeasi contradictie ca in cazul 1).

Traiectorii de baza admisibile

Se obtin din tabelul:

Traiectoria nr. 1

din (44), ; nu se platesc dividende (tot profitul se reinvesteste)

din (49), imprumuturi maxime.

(39)

venitul marginal din vanzari este mai mare decat costul marginal in cazul finantarii din imprumut maxim si actiuni (tot profitul in acest caz se reinvesteste).

Notam solutia ecuatiei .

Pe traiectoria 1:

este descrescatoare, deci ; deci productia este mai mica decat valoarea stationara.

Pe traiectoria 1, actiunile cresc si imprumuturile cresc.

pentru a exista comutatie la un moment t, la inceputul si la sfarsitul traiectoriei 1, limita la sfarsitul traiectoriei 1.

limita la inceputul traiectoriei 1.

Din (38)

la inceputul traiectoriei 1 actiunile sunt scumpe si creditele ieftine

Traiectoria nr. 2

din (44), ; pe traiectoria 2 nu se platesc dividende

din (48), ; pe traiectoria 2 se fac imprumuturi

din (49), imprumuturile nu sunt la maxim.

(39)

traiectoria 2 este stationara

capitalul nu creste pe traiectoria 2.

Inceputul traiectoriei 2

Þdin (38) actiunile sunt scumpe si creditele ieftine, deci nu se platesc dividende si tot profitul se reinvesteste.

Þdin (38) actiunile sunt ieftine si creditele scumpe; se platesc dividende.

Traiectoria nr. 3

din (44), ; pe traiectoria 3 nu se platesc dividende.

din (48) nu se fac imprumuturi, autofinantare

(39)

(S' este descrescatoare): , capitalul creste pe traiectoria 3.

actiunile cresc pe traiectoria 3.

Inceputul traiectoriei 3

din (38)

Sfarsitul traiectoriei 3

din (38)

Traiectoria nr. 4

din (44), ; se platesc dividende.

din (48) nu se fac imprumuturi,

(39) (50)

costul unitar in cazul autofinantarii pure.

Venitul marginal din vanzari este egal cu costul marginal al finantarii din actiuni (autofinantarii).

Traiectoria 4 este stationara

valoarea actiunilor nu creste

(38) pe traiectoria 4 actiunile sunt ieftine si creditele sunt scumpe.

Traiectoria 5

din (44), ; se platesc dividende.

din (48) se fac imprumuturi,

din (49) imprumuturi la maxim

(39) (51)

costul marginal al finantarii din imprumuturi maxime si plata dividendelor.

Venitul marginal din vanzari este egal cu costul marginal al finantarii din imprumut maxim si plata dividendelor.

traiectoria 5 este stationara

capitalul social se mentine stationar.

volumul imprumuturilor nu creste.

pe traiectoria 5 actiunile sunt scumpe si creditele sunt ieftine (se justifica imprumutul maxim si plata dividendelor).

TRAIECTORII FINALE

Trebuie sa verifice conditiile de transversalitate:

In cazul nostru: