Cuadrica redusa la forma canonica cu metoda valorilor si vectorilor proprii

Cuadrica redusa la forma canonica cu metoda valorilor si vectorilor proprii

f(x) = 3x² + 6y² + 3z² - 4xy - 8xz - 4yz - 7 = 0 f: R²→ R

A =

Determinam valorile proprii: det(A - I₃) = 0;

= 0 ( 2) = 0

Determninam valorile proprii: (A - I₃ )v = 0

Pentru = 7 = S , v₁ = (1, -2,0), v₂ = (0, -2,1);

Analog se determina S v₃ = (2,1,2)

Stim ca v₃v₁ si v₃v₂ , prin urmare sunt ortogonali;

Folosim procedeul Gram-Schmidt pentru ortogonalizarea vectorilor v₁ si v₂:

e₁=v₁=(1, -2,0)

e₂=v₂ +e₁ =(0, -2,1) + (1, -2,0)=(,- 2 - 2,1), dar <e₁,e₂> = 0 + 4 + 4 = 0

= -

Deci, e₂ = (- , - , 1).

Pentru ortonormare avem nevoie de versorii vectorilor, adica

, , ;

Prin urmare,

B^"_o^"=

Am inversat ordinea vectorilor e₂ si v₃ deoarece, determinantul matricei T_BcanB^"_o^" trebuie sa fie 1(nu -1) pentru ca baza B^"_o^" si B_can sa aiba aceeasi orientare

Realizam rotatia:

.

In noul reper R'=, ecuatia conicei devine:

f(x)= 7x'² - 2y'² + 7z'² - 7 = 0;

Cum nu mai avem termeni in x, y, sau z nu mai este nevoie sa facem vreo translatie pentru a ajunge la forma canonica.

Forma canonica este: f(x) =