O conjectura a lui erdÖs

O CONJECTURA A LUI ERDÖS

Paul Erdös a fost un talentat matematician american de origine maghiara, care a fost fascinat de Teoria numerelor (in special de numerele prime) si de aplicarea teoriei probabilitatilor in toate domeniile matematicii. El a demonstrat o serie de teoreme dificile in teoria numerelor si in multe alte ramuri ale matematicii sec.XX, astfel incat a fost numit "Euler-ul sec.XX". In acelasi timp, Erdös a rezolvat si a pus o serie de probleme din multe ramuri ale matematicii. Unele din ele sunt si azi deschise (deci sunt conjecturi). Iata una din acestea.

Fiecare numar natural se descompune in mod unic (mai putin ordinea) intr-un produs de numere prime. Este evident ca doua numere naturale consecutive, nu au un factor prim comun. Daca descompunem doua numere consecutive n si n+1 in factori primi, poate exista numai una din urmatoarele doua situatii: fie cel mai mare factor prim al lui n sa fie superior celui mai mare factor prim al lui n+1, fie, din contra, sa fie inferior. Iata ce se petrece pentru primele 10 numere naturale:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 2 5 3 7 2 3 5

< < > < > < > < < <

Se observa ca pentru 7 dintre numerele sectiunii , cel mai mare factor prim al lui n este mai mic decat cel mai mare factor prim al urmatorului (n+1).

Daca notam cu = numarul intregilor din sectiunea , in care cel mai mare factor prim al lui n este inferior celui mai mae factor prim al lui n+1, atunci avem:

Se pare ca numarul se apropie din ce in ce de n/2. Erdös a pus problema: sa se arate ca daca , atunci . Problema e inca deschisa si se pare ca e inatacabila cu instrumentul matematic actual.