Patrulaterul circumscriptibil - Gizela Pascale

" Geometria este arta de a rationa corect pe figuri incorecte" (H.)

Patrulaterul circumscriptibil

Gizela Pascale

In acest articol se va prezenta patrulaterul circumscriptibil pornind de la definitie si continuand cu proprietatile acestuia (consemnate in cartile de specialitate) dupa care se vor stabili cateva consecinte deduse de autoarea articolului si se vor propune doua aplicatii.

Definitie

Patrulaterul in care se poate inscrie un cerc se numeste patrulaterul circumscriptibil.

Teorema(Pithot)

Fie ABCD un patrulater convex. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

Bisectoarele unghiurilor patrulaterului sunt concurente.

Patrulaterul ABCD este circumscriptibil.

Are loc:

Demonstratie: (1)(2). Fie I punctul de intersectie al bisectoarelor patrulaterului si fie proiectiile ortogonale ale punctului I pe laturile patrulaterului. Deoarece rezulta ca cercul ce trece prin va trece si prin si in plus acest cerc este tangent laturilor patrulaterului.

(2) (1) Daca patrulaterul ABCD este circumscriptibil, atunci bisectoarele unghiurilor patrulaterului trec prin centrul cercului inscris in patrulater.

(2) (3) unde M, N, P, Q sunt punctele de tangenta ale cercului inscris cu laturile AB, BC, CD, DA ale patrulaterului circumscriptibil ABCD.

Cum rezulta ca

(3) (2) Fie ABCD un patrulater convex astfel incat Se arata ca el este circumscriptibil. Se presupune ca BC nu este paralel cu AD. Fie . Cum ABCD este convex, . Fie C cercul inscris in triunghiul ABE. Se arata ca CD este tangent la cercul C. Se presupune prin absurd ca CD nu este tangent la cercul C si fie paralel cu CD, astfel incat imparte planul in doua semiplane si cu E apartine lui S si C- este inclus in semiplanul . Deoarece patrulaterul este circumscriptibil rezulta ca Din ultima relatie si din (3) rezulta:

sau sau adica lungimea segmentului CD este egala cu lungimea liniei frante de aceleasi extremitati, ceea ce este absurd. Rezulta ca este tangent la cercul C

Teorema (Newton

Mijloacele diagonalelor unui patrulater circumscriptibil si centrul cercului inscris sunt situate pe aceeasi dreapta (numita dreapta lui Newton).

Vom folosi:

Lema:

Fie ABCD un patrulater convex care nu este paralelogram. Locul geometric al punctelor M din interiorul patrulaterului pentru care

constant este un segment de dreapta.

Demonstratie lema:

Deoarece patrulaterul convex ABCD nu este paralelogram, rezulta ca exista doua laturi neparalele. Fie acestea AD si BC. Dreptele AD si BC se intersecteaza in punctul O. Fie si astfel incat si Rezulta ca si . De aici se obtine

Punctele O, E, F fiind fixe constant si deci punctul M verifica egalitatea sau unde cu am notat distanta de la punctul M la dreapta EF. Punctele E si F fiind fixe rezulta ca este o constanta , deci punctul M va descrie o dreapta paralela cu dreapta EF dusa la distanta . Intereseaza doar punctele de pe acesta dreapta care sunt interioare patrulaterului ABCD; se obtine astfel un segment . In acest fel s-a obtinut ca locul geometric L al punctului M care verifica este un segment paralel cu situat la distanta .

Reciproc, orice punct verifica deoarece:

Prin urmare locul geometric al punctelor M din interiorul patrulaterului pentru care are loc relatia ceruta este un segment de dreapta.

Demonstratie teorema:

Fie ABCD un patrulater circumscriptibil. Notam cu M respectiv N mijlocul diagonalei respectiv si cu I centrul cercului inscris in patrulater. Fie r raza cercului inscris in patrulater. Atunci:

Pe de alta parte, patrulaterul ABCD fiind circumscriptibil, are loc si Rezulta ca

De fapt s-au obtinut egalitatile:

Tinand seama de aceste trei relatii si de lema stabilita anterior, rezulta ca punctele M, N, I se afla pe o aceeasi dreapta numita (dreapta lui Newton).

Consecinte

Paralelogramul circumscriptibil este romb.

Daca o diagonala a patrulaterului circumscriptibil contine I, atunci ea reprezinta axa de simetrie a patrulaterului.

Patrulaterul circumscriptibil in care punctul de intersectie al diagonalelor coincide cu centrul cercului inscris este romb.

Demonstratie: Din si obtinem ca respectiv deci ABCD are unghiurile opuse congruenteeste paralelogram. Dar paralelogramul circumscriptibil este romb, de unde concluzia.

Trapezul isoscel circumscriptibil are lungimea inaltimii egala cu media geometrica a bazelor.

Demonstratie: Fie ABCD un trapez isoscel cu AB║CD, AB>CD si , unde AB=b. ABCD este un patrulater circumscriptibil .

Aplicand teorema lui Pitagora in triunghiul BEC si efectuand calculele

Raza cercului inscris intr-un trapez isoscel circumscriptibil este egala cu , unde notatiile sunt cele uzuale.

Demonstratie: Fie r raza cercului inscris in trapez, 2r h de unde rezulta r.

Intr-un trapez dreptunghic circumscriptibil inaltimea este media armonica a bazelor.

Demonstratie: Fie AB║CD, AB>CD, Notam BC=l AD=h (1) si aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul BEC(2) Din (1)+(2) obtinem adica ceea ce trebuia demonstrat.

Intr-un patrulater ortodiagonal circumscriptibil produsele dintre lungimile laturilor opuse sunt egale.

Demonstratie: Fie a, b, c, d lungimile laturilor AB, BC, CD, DA ale patrulaterului ABCD si . Aplicand teorema lui Pitagora in triunghiurile dreptunghice QAB, QBC, QCD, QDA obtinem:

Adunand relatiile anterioare si grupand convenabil obtinem Cum

.

Consecinta:

Nu exista trapez isoscel ortodiagonal circumscriptibil.

Demonstratie: Daca prin reducere la absurd presupunem contrariul, in conformitate cu 5) Cum , absurd!

Aplicatia 1

Fie ABCD un trapez isoscel circumscriptibil cu AB║CD, AB>CD. Notam cu x=d(A, BC) si y=d(C, AD). Atunci:

si

.

Solutie:

2. Se scrie in doua moduri, la fel .

3. Cum (*)si cum

din . Cum cerinta.

din

Aplicatia 2

ABCD este un patrulater circumscriptibil si inscriptibil. Fie si masurile unghiurilor si si a, b, c, d lungimile laturilor AB, BC, CD, DA. Aratati ca:

1.

2. Daca si , aratati ca lungimile laturilor patrulaterului nu sunt toate numere rationale.

3. In conditiile de la 2) aratati ca :

i).

ii).

iii) si .

Solutie:1. Fie r raza cercului inscris. . din ABCD patrulater inscriptibil. Obtinem . Analog

Cum .

2. Conform cu 1) (*). Daca a, b, c, d sunt simultan numere rationale atunci , absurd!

3. Cu teorema cosinusului in triunghiurile ABD, respectiv BCD si (1). Aplicand teorema cosinusului in triunghiurile ABC, respectiv ADC (2). Folosind (*) precum si realatiile (1) si (2) de unde grupand convenabil obtinem , prin urmare . Cum , de unde

4. a si c se obtin din conditia de circumscribilitate a patrulaterului si relatia determinata anterior

Bibliografie:

Nicolescu L., Boskoff V., Probleme practice de geometrie, Editura Tehnica, Bucuresti, 1990.