SPATIUL EUCLIDIAN Rⁿ

Obiective : Insusirea de catre studenti a operatiilor cu vectori si matrici precum si aplicatiile lor in geometria spatiului euclidian R³ .

Continut :

Operatii cu vectori si marimi metrice in Rⁿ

Corpul numerelor reale R

Spatiul vectorial Rⁿ

Marimi metrice in Rⁿ

Subspatii vectoriale in Rⁿ si operatii cu ele

1.3 Matrici de numere reale

1.3.1 Operatii cu matrici

1.3.2 Indicatori numerici ai matricilor

1.3.3 Proprietati ale operatiilor si indicatorilor numerici ai matricilor

1.3.4 Clase de matrici patratice

1.4 Rezumat

1.5 Intrebari

1.6 Bibliografie

Cuvinte cheie : vector,norma,distanta,unghi,produs scalar, produs vectorial, produs mixt,subspatii vectoriale,suma directa,suma ortogonala,matrice ,urma, determinant, rang,norma a matricii.

1.1. Operatii cu vectori si marimi metrice in Rⁿ

Corpul numerelor reale R

Multimea numerelor reale R se poate defini constructiv astfel: N Z Q R .

N= este multimea numerelor naturale, Z = este multimea numerelor intregi, Q = este multimea numerelor rationale (fractionare), I este multimea numerelor irationale (limite ale sirurilor convergente de numere rationale) iar

R=Q I cu Q∩I = . Pentru numere reale se adopta scrierea zecimala: .

Partea intreaga a numarului real a este numarul intreg format cu cifrele din stanga punctului zecimal, iar partea fractionara a numarului real a este numarul din intervalul [0;1) format cu zecimalele din dreapta punctului zecimal.

La exprimarea zecimala a numarului rational a = r / s , (r ,s I Z s ≠0 ), numarul de zecimale din dreapta punctului zecimal poate fi finit (daca numitorul s se divide numai cu 2 sau cu 5) sau infinit dar periodic (daca numitorul s se divide si cu alte numere prime afara de 2 sau 5).

Exemple

La exprimarea zecimala a unui numar irational numarul de zecimale din dreapta punctului zecimal este infinit si neperiodic.

Exemple

0.60182 .

- 0.24933 .

1.159283 .

1.126377 .

In cazul numerelor reale cu un numar infinit de zecimale (periodic sau nu) se retine un numar finit de zecimale in raport de precizia calculului.

Exemplu

La computere se retin 7 zecimale in simpla precizie si 16 zecimale in dubla precizie.

Pentru numere reale foarte mari sau foarte mici se adopta scrierea exponentiala.

Exemple

Multimea numerelor reale R admite si o definitie axiomatica.

Pe multimea R se definesc legile de compozitie numita adunare si numita inmultire si o relatie de ordine fata de care sunt indeplinite patru grupe de axiome:

I. R este corp comutativ fata de adunare si inmultire.

(Comutativitatea adunarii):

(Asociativitatea adunarii):

(Elementul neutru fata de adunare): Exista 0IR astfel ca pentru orice aIR

(Elementul simetric fata de adunare): Pentru orice aIR exista elementul simetric (opus)

- a IR astfel ca

(Comutativitatea inmultirii):

(Asociativitatea inmultirii):

(Elementul neutru fata de inmultire): Exista 1IR astfel incat pentru orice aIR

(Element simetric fata de inmultire): Pentru orice aIR, exista elementul invers

a ^{- 1}IR astfel incat

(Distributivitatea inmultirii fata de adunare): ;

II. R este corp comutativ ordonat fata de relatia de ordine " ≤ ".

; pentru orice a,b,cIR (Tranzitivitate)

; pentru orice a,bIR (Reflexivitate)

Pentru orice a,b IR , avem sau sau (Dihotomie)

pentru orice a,b,cIR

III. R este corp comutativ ordonat arhimedian

Pentru orice a,bIR cu , exista numarul natural n cu

IV. R este corp comutativ ordonat arhimedian continuu

Pentru orice siruri (a_n) , (b_n) , nIN , de numere din R, astfel ca: exista si este unic αIR astfel ca: pentru orice iIN .

Multimea numerelor reale se corespunde bijectiv cu multimea punctelor unei drepte:

punctul M este imaginea numarului real a iar numarul real a este abscisa punctului M.

Modulul lui aIR este:

Axiomele modulului

; daca si numai daca

|λa| = |λ| . |a| ; (λ ,a IR)

(Inegalitatea triunghiului)

Distanta intre numerele reale a, b este

Axiomele distantei

; daca si numai daca

d(a,c)≤ d(a,b)+ d(b,c) (Inegalitatea triunghiului)

Spatiul vectorial Rⁿ

Fie R corpul numerelor reale.

Spatiul Rⁿ este multimea ansamblurilor ordonate de numere reale , numite vectori.

Operatii cu vectori

Adunarea vectorilor:

Fie ;b=(b₁, . ,b_n); a_i,b_i IR . Suma vectorilor a, b este vectorul din Rⁿ : cu

Inmultirea vectorilor cu scalari

Fie IRⁿ si αIR. Produsul vectorului a cu scalarul a este vectorul din Rⁿ:

Teorema 1.1

Rⁿ este spatiu vectorial peste corpul R fata de adunarea vectorilor si inmultirea vectorilor cu scalari.

Demonstratie

Se verifica usor axiomele care definesc un spatiu vectorial pentru cazul lui Rⁿ , bazandu-ne

pe proprietatile operatiilor din corpul scalarilor R:

I. Adunarea vectorilor este comutativa: pentru orice a,bIRⁿ

II. Adunarea vectorilor este asociativa: pentru orice a,b,cIRⁿ

III. Pentru adunarea vectorilor exista elementul neutru: IRⁿ : pentru orice aIRⁿ

IV. Pentru orice vector a IRⁿ, exista vectorul simetric (opus): IRⁿ astfel ca

V. Pentru orice aIRⁿ, avem

VI Inmultirea cu scalari este distributiva fata de adunarea vectorilor: ;

VII. Inmultirea cu scalari este distributiva fata de adunarea scalarilor: ;

VIII. Inmultirea cu scalari este asociativa fata de inmultirea scalarilor: Q.E.D.

Daca Rⁿ si R^m sunt spatii vectoriale peste R ,produsul lor cartezian Rⁿ X R^m este multimea perechilor de vectori ( a ; b ) unde a este vector din Rⁿ iar b este vector din R^m

Rⁿ X R^m devine spatiu vectorial peste R fata de operatiile :

1) (a ; b) + ( c ; d) = (a +c ; b + d) unde a , c sunt vectori din Rⁿ iar b , d sunt vectori din R^m

α (a ; b) = ( α a ; α b) unde a este vector din Rⁿ , b este vector din R^m iar α este scalar din R.

Spatiul vectorial produs Rⁿ X R^m este izomorf cu spatiul vectorial R^n+m

De exemplu R X R² este izomorf cu R³

Exemple

I)n=2 : R² =

Orice vector se reprezinta grafic printr-un punct M in planul raportat la doua axe rectangulare:

a se numeste abscisa punctului M,

a se numeste ordonata punctului M.

Reciproc, orice punct M din plan ce

corespunde cu un vector din R² ale carui componente sunt coordonate ale lui M.

II) : R³ =

Orice vector se reprezinta grafic printr-un punct M in spatiul raportat la trei axe rectangulare:

a se numeste abscisa lui M, a₂ se numeste ordonata lui M, a₃ se numeste cota lui M.

In geografie, abscisa se numeste longitudine, ordonata latitudine iar cota altitudine.

Originea axelor pe pamant este la intersectia ecuatorului cu meridianul 0 (Greenwich).

In spatiile vectoriale R² si R³ adunarea vectorilor revine la regula paralelogramului din mecanica: este diagonala din originea 0 a paralelogramului cu laturile a, b iar inmultirea unui vector a cu un scalar a da ca rezultat un vector a a, coliniar cu vectorul a.

1.1.3 Marimi metrice in Rⁿ

In spatiul vectorial Rⁿ se introduc marimile metrice:

a)    Norma vectorilor

b)    Distanta scalar a doi vectori

c)    Produsul scalar a doi vectori

d)    Unghiul a doi vectori

e)    Aria paralelogramului construit pe doi vectori necoliniari

f)    Volumul paralelipipedului construit pe trei vectori necoplanari

Teorema 1.2

a) Vectorul IRⁿ are norma euclidiana:

b) Distanta euclidiana intre doi vectori si din Rⁿ este:

c) Produsul scalar al vectorilor si din Rⁿ este:

a * b = a₁b₁ + + a_nb_n

Demonstratie

a) Norma euclidiana verifica axiomele normei:

(Inegalitatea triunghiului)

Axiomele 1), 2) se verifica imediat. Axioma 3) se reduce la inegalitatea clasica a lui Minkovski:

In spatiul euclidian Rⁿ exista si alte norme in afara de cea euclidiana:

Exemple

Spatiul vectorial Rⁿ inzestrat cu o norma , este spatiu vectorial normat .

b) Distanta euclidiana verifica axiomele distantei:

;

(Inegalitatea triunghiului)

Axiomele 4), 5) rezulta imediat. Axoima 6) devine:

folosind axioma 3).

In spatiul vectorial Rⁿ exista si alte distante in afara de cea euclidiana.

Exemple

i)   

ii)   

Spatiul vectorial Rⁿ inzestrat cu o distanta , este spatiu metric .

c) Produsul scalar verifica axiomele:

; daca si numai daca

Axiomele 7) - 9) se verifica imediat.

Spatiul vectorial Rⁿ inzestrat cu un produs scalar , este spatiu euclidian .

Daca avem produs scalar a* b avem si norma :

Daca avem norma : || a || avem si distanta : d(a; b) = || b - a ||

Observam ca || a || = d(a ; 0) . Q.E.D.

In afara de siruri ordonate a = (a₁, . ,a_n) din Rⁿ cu a_i din R , si alte multimi de elemente formeaza spatiu vectorial fata de adunare si inmultire cu scalari , avand si produs scalar (verifica axiomele I-VIII si axiomele 7) - 9) din teorema 1.2):

Multimea polinoamelor cu coeficienti reali de grad cel mult n :

Daca P(x) = a₀xⁿ +a₁x^n-1+ . +a_n si Q(x) = b₀xⁿ +b₁x^n-1+ . +b_n avem produsul scalar :

P*Q = a₀b₀+a₁b₁+ . +a_nb_n

Multimea polinoamelor trigonometrice cu coeficienti reali ,cu 2n+1 termeni :

Daca P(x)=a₀ +( a₁cos x + b₁ sin x) + . +(a_n cos nx +b_n sin nx ) si

Q(x)=c₀ +( c₁cos x + d₁ sin x) + . +(c_n cos nx +d_n sin nx ) , avem produsul scalar :

P*Q = a₀c₀ + (a₁c₁ + b₁d₁)+ . +(a_nc_n + b_nd_n)

Multimea matricilor dreptunghiulare de tip m x n cu elemente reale:

Daca A = (a_ij) , B = (b_ij) sunt matrici de tip mxn , avem produsul scalar :

Multimea fumctiilor continue pe [ a ; b ] cu valori reale :

Daca f ,g sunt functii continue pe [ a ; b ] avem produsul scalar:

Proprietatea ramane valabila pentru functii derivabile,integrabile si

marginite pe [ a ; b ] .

Teorema 1.3

Pentru orice a,b I Rⁿ avem :

| a*b | ≤ || a || . || b || (Inegalitatea Cauchy-Schwartz)

|| a + b ||² + || a - b ||² = 2 (|| a ||² + || b ||² ) (Regula paralelogramului )

Daca a*b = 0 avem || a+ b ||² = || a ||² + || b ||² (Relatia Pitagora )

Demonstratie

Pentru orice λ IR avem ( a + λb)*(a + λb ) ≥ 0 adica:

|| b ||² . λ² + 2 a b λ + || a ||² ≥ 0 deci Δ = 4 ( (a*b)² - || a ||². || b ||² ≤ 0

adica | a*b | ≤ || a ||.|| b ||

Avem : || a + b ||² = || a ||² + 2 a*b + || b ||²

|| a - b ||² = || a ||² - 2 a*b + || b ||²

Prin adunare obtinem : || a + b ||² + || a - b ||² = 2 (|| a ||² + || b ||²

Daca a*b = 0 relatia || a + b ||² = || a ||² + 2 a*b + || b ||² devine :

|| a + b ||² = || a ||² + || b ||² Q.E.D.

Inegalitatea de la punctul 1) al teoremei 1.3 ,permite definirea unghiului q a doi vectori a, b

deci cos θ I

In particular, vectorii a, b sunt perpendiculari (ortogonali) daca si numai daca deci deci a*b = 0 .

Aria paralelogramului construit pe vectorii a, b este:   

Produsul scalar este o arie:

Fie si imaginile vectorilor a,bIR²

Fie imaginea vectorului c cu si .

Fie OPQN paralelogramul construit pe ON, OP. Ducem deci unghiurile q=MON si ONR sunt egale. Rezulta si asa ca deci produsul scalar a b este aria paralelogramului construit pe vectorii OP si ON cu lungimile a si b

Fie vectorii a=(a₁, . ,a_n) ,b=(b₁, . ,b_n) din Rⁿ.

Vectorii a ,b sunt coliniari daca exista αIR, α ≠ 0 astfel ca b = α.a . Notatie : a ~b

Relatia de coliniaritate a vectorilor este o relatie de echivalenta :

a ~a deoarece a=1.a

a ~b implica b ~a deoarece b=α.a implica a = (1/α).b

a ~b si b ~c implica a ~c deoarece b=α.a si c=β.b implica c=(αβ).a

cu α, β ≠ 0 deci α.β ≠ 0 .

Clasa de echivalenta a tuturor vectorilor b coliniari cu vectorul a se numeste directia definita

de vectorul a iar a₁, . ,a_n se numesc parametrii directori ai acestei directii .

Parametrii directori ai versorului a / ||a|| adica a₁ / ||a|| , . , a_n / ||a|| sunt cosinusii unghiurilor facute de vectorul a cu versorii bazei-standard E₁, . ,E_n .

cos θ₁= a₁ / ||a|| , . , cos θ_n = a_n / ||a|| se numesc cosinusii directori ai directiei definite de vectorul a si definesc in mod unic aceasta directie.

Avem (cos θ₁)² + . +(cos θ_n)² = 1

Exemplu

Fie in R³ vectorii ;

Sa se calculeze

Sa se calculeze , si

Sa se calculeze

Sa se calculeze unghiul q intre vectorii a, b

Sa se calculeze aria paralelogramului construit pe vectorii a, b

Solutie

; ;

Pentru calculul ariilor si volumelor se folosesc produsul vectorial si produsul mixt al vectorilor din Rⁿ.

Fie E₁, . ,E_n versorii bazei standard in Rⁿ si fie vectorii :

Produsul vectorial al celor vectori a⁽²⁾, . ,a⁽ⁿ⁾ din Rⁿ este vectorul din Rⁿ definit astfel

Dezvoltand acest determinant dupa prima linie, se vede ca componentele vectorului sunt complementii algebrici de ordin ai versorilor-unitate E₁, . ,E_n din determinantul precedent.

Proprietati ale produsului vectorial

daca si numai daca sunt liniar dependenti.

Produsul vectorial este functie liniara in raport cu orice vector :

deci produsul vectorial este antisimetric.

Pentru orice avem: deci produsul vectorial al vectorilor este ortogonal pe fiecare din acesti vectori.

Proprietatile 1) - 4) rezulta din proprietatile determinantilor.

Caz particular: Pentru fie vectorii ; din R³.

Produsul vectorial al acestor vectori este:

Se verifica relatia unde q este unghiul vectorilor a⁽²⁾,a⁽³⁾ din R³ asa ca este aria paralelogramului construit pe .

Fie vectorii

Produsul mixt al vectorilor este:

Proprietati ale produsului mixt

daca si numai daca sunt vectori liniar dependenti.

Produsul mixt este functie liniara in raport cu orice vector :

deci produsul mixt este antisimetric

Proprietatile 5) - 8) rezulta din proprietatile determinantilor.

Caz particular: Pentru fie vectorii ; ; din R³.

Produsul mixt al acestor vectori este: si modulul acestui produs mixt reprezinta volumul paralelipipedului cu laturile , concurente in originea 0.

Exemplu

Fie vectorii ; ; ; din R³

Se cere aria triunghiului cu varfurile si distanta de la varful a⁽²⁾ la baza formata cu varfurile lui a⁽³⁾ , a⁽⁴⁾

Se cere volumul piramidei cu varfurile si distanta de la varful a la baza formata cu varfurile lui .

Solutie

Aria ceruta este jumatate din aria paralelogramului cu laturile in varfurile lui si deci .

deci . Avem deci iar sau deci

Volumul cerut este din volumul paralelipipedului oblic cu laturile ; ; deci . Avem si cum V = 8 / 3 si de la punctul 1) avem asa ca

1.2. Subspatii vectoriale in Rⁿ si operatii cu ele

Submultimea L Rⁿ este subspatiu vectorial al lui Rⁿ daca este spatiu vectorial fata de operatiile din Rⁿ:

a,b ILT a+b IL

a IL , aIRTa.a IL

Axiomele I) - VIII) ale spatiului vectorial, valabile in Rⁿ, vor fi valabile si in L.

Conform punctului 2) pentru , din aIL rezulta - a IL iar conform punctului 1) din

a , - a I L rezulta a+( - a) =0 IL

Exemplu

Fie o matrice A de numere reale cu m linii si n coloane. Multimea vectorilor din Rⁿ care satisfac sistemul liniar omogen , este un subspatiu vectorial al lui Rⁿ si reciproc.

In adevar;

din X', X'' IL rezulta AX'=0 , AX"=0 de unde A(X'+X")=0 asa ca X'+X" IL

din XIL IR rezulta deci asa ca αXIL

Reciproca va fi justificata mai jos in sectiunea 2.1

Cazuri particulare in R³ (n = 3)

m = 1: Multimea vectorilor cu a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = 0 este un plan care trece prin originea 0 a axelor de coordonate. In particular planele de coordonate au ecuatiile ; ; .

m = 2: Multimea vectorilor cu

este o dreapta care trece prin originea O a axelor de coordonate. Aceasta dreapta este intersectia planelor care trec prin O si satisfac ecuatiile (1) respectiv (2).

Operatii cu subspatii vectoriale

I.)         Daca L₁ , L₂ Rⁿ sunt subspatii vectoriale ale lui Rⁿ, atunci L = L₁ L₂ Rⁿ este subspatiu vectorial al lui Rⁿ.

In adevar, daca a, b I L₁ L₂ rezulta a, b IL deci L₁ respectiv a, b I L₂ deci L₂ asa ca L₁ L₂.

Deasemenea, daca a I L₁ L₂ si aIR, atunci a I L₁ deci a a IL si respectiv a I L₂ deci a a I L₂. In concluzie, a a I L₁ L₂

II.)      Daca L₁ , L₂ Rⁿ sunt subspatii vectoriale ale lui Rⁿ, atunci suma subspatiilor

L = L₁ + L₂ = este subspatiu vectorial al lui R ⁿ.

In adevar, fie : e, f I L₁ + L₂ deci cu a I L₁ , b IL si cu c IL

d IL . Avem cu a + c I L₁ si b + d I L₂ deci e + f I L₁ + L₂ .

Mai departe, fie e I L₁ + L₂ si aIR deci cu a IL , b IL . Avem cu a a I L₁, a b I L₂ deci a e I L₁ + L₂ .

III.)           Daca L₁ si L₂ sunt subspatii vectoriale ale lui Rⁿ, suma L= L₁ + L₂ a subspatiilor L₁ si L₂ se numeste directa daca pentru orice vector c I L₁ + L₂ , exprimarea cu a I L₁ ,

bI L₂ este unica. Notatie .

Avem daca si numai daca L₁ L₂ =.

IV.) Daca L₁ , L₂ sunt subspatii vectoriale ale lui Rⁿ, suma L= L₁ + L₂ a subspatiilor L₁ si L₂ se numeste ortogonala daca orice vector aIL₁ este ortogonal pe orice vector b I L₂ adica produsul lor scalar este nul: . Notatie L = L₁ Q L₂ .

Observam ca suma ortogonala L = L₁ Q L₂ este suma directa a lui L₁ si L₂ . De aici rezulta ca daca L = L₁ Q L₂ atunci L₁ L₂ =

Suma directa L = L₁ L₂ este ortogonala daca si numai daca pentru orice c, I L cu descompunerile unice (a IL₁, b IL₂) si (IL₁, IL₂) avem:

c*c = a*a + b*b

V.) Pentru orice subspatiu vectorial L Rⁿ, exista un subspatiu vectorial astfel ca

Rⁿ = L Q L . L se numeste complementul ortogonal al subspatiului vectorial L Rⁿ si avem LQ L

Proprietati

a)   

b)   

c)    (L₁ + L₂) = L₁ L₂

d)    (L₁ L₂) = L₁ + L₂

Exemple

I) Daca L₁ si L₂ sunt doua plane care trec prin origine in R³, atunci L₁ L₂ este dreapta comuna a celor doua plane si trece prin origine.

II) - III) Daca L₁ si L₂ sunt doua drepte care trec prin origine in R³, atunci L₁ +L₂ este planul determinant de cele doua drepte concurente in origine si suma este directa.

IV) Daca L₁ , L₂ sunt doua drepte care trec prin origine in R³ si sunt perpendiculare intre ele, atunci suma ortogonala L₁ QL₂ este planul determinat de cele doua drepte perpendiculare una pe alta in origine. In particular planul xOy este suma ortogonala a dreptelor Ox si Oy.

V) Daca L este un plan care trece prin origine in R³, atunci L este dreapta care trece prin origine si este perpendiculara pe acest plan.

Daca L este o dreapta care trece prin origine in R³, atunci L este planul care trece prin origine si este perpendicular pe dreapta data.

In particular daca L= xOy atunci L =Oz iar daca L= Ox atunci L = yOz. Daca L este subspatiu vectorial in Rⁿ si b L, multimea b+L = se numeste varietate liniara paralela cu subspatiul vectorial L.

Multimea varietatilor liniare ale subspatiului vectorial L Rⁿ , formeaza un spatiu vectorial , numit spatiu vectorial-cat si notat Rⁿ / L , fata de operatiile :

1) (b+L)+(c+L)=(b+c+L) (b,c L) ; 2) a(b+L)=ab+L (b L, aIR

Exemple

Multimea solutiilor M=(x,y,z) I R³ a ecuatiei a₁₁ x + a₁₂ y + a₁₃ z + a₁₄ = 0 este un plan paralel cu planul care trece prin origine asociat ecuatiei omogene: a₁₁ x + a₁₂ y + a₁₃ z = 0

Multimea solutiilor M=(x,y,z) I R³ a sistemului de ecuatii compatibil nedeterminat:

este o dreapta, paralela cu dreapta care trece prin origine asociata sistemului omogen:

Matrici de numere reale

O matrice de numere reale, cu m linii si n coloane (de tip ) este un tablou dreptunghiular cu numere reale , aranjate pe m linii si n coloane:

Daca , matricea se numeste patratica de ordin n:

In particular, un vector - linie este o matrice de tip iar un vector - coloana este o matrice de tip .

O multime de p matrici , toate de tip formeaza o hipermatrice A cu m linii, n coloane si p rame:

Aceste rame pot fi asezate una in spatele celeilalte ca ramele intr-un stup.

Transformari

Orice matrice se poate transforma intr-un vector - linie si reciproc

a)    Fie matricea de tip cu m n elemente:

Matricea A se transforma in vectorul - linie deci prin schimbarea notatiilor, avem vectorul - linie cu elemente: unde cu k = n ( i - 1) + j unde i = 1, . ,m ; j = 1, . ,n deci k = 1, . ,q .

b)      Fie vectorul - linie: cu q elemente. Fie m un divizor al lui q si n = q / m.

Vectorul - linie b cu elemente se transforma in matricea A de tip : unde cu i = Int((k - 1)/n)+1 ; j = k - n.Int((k - 1)/n)

unde k = 1, . , q deci i = 1, . ,m ; j = 1, . , n .

Orice hipermatrice se poate transforma intr-un vector - linie si reciproc

c) Fie hipermatricea A de tip cu mnp elemente

a _{i j h} (i=1, . , m ; j=1, . , n ;h=1, . , p ).

Hipermatricea A se transforma in vectorul - linie deci prin schimbarea notatiilor, avem vectorul - linie cu q = m n p elemente: unde cu k =p. n.( h - 1) + n.(i -1)+ j unde i=1, . , m ; j=1, . , n ;h=1, . , p

d) Fie vectorul - linie: cu q elemente. Fie m , n doi divizori al lui q si p=q/mn

Vectorul - linie b cu elemente se transforma in hipermatricea A de tip cu elementele cu i = Int((k - 1 )/n - p.Int(Int((k - 1)/n)/p) ;

j = k - n.Int((k - 1)/n) ; h = Int(Int((k - 1)/n)/p)+1 unde k = 1, . ,q .

Daca este o matrice de tip , transpusa sa, notata A^T , este o matrice de tip cu adica prin transpunere, liniile devin coloane si coloanele devin linii.

Transpusa unei matrici patratice A de ordin n este tot o matrice patratica, notata A^T de acelasi ordin n. Matricea A este simetrica daca coincide cu transpusa sa: A^T=A deci si este antisimetrica daca deci

1.3.1 Operatii cu matrici

Adunarea si scaderea matricilor

Daca si sunt matrici de tip , suma lor este tot de tip iar diferenta lor este tot de tip .

Inmultirea matricilor:

Daca este matrice de tip si este matrice de tip atunci produsul lor este de tip unde:

Inmultirea matricilor cu scalari:

Daca este matrice de tip si atunci produsul matricii A cu scalarul l este tot de tip .

Impartirea matricilor patratice:

Daca este matrice patratica nesingulara ( cu ) de ordin n si este o alta matrice patratica de ordin n, catul lor este: si este tot matrice patratica de ordin n.

este o matrice patratica de ordin n care satisface relatiile (E este matricea - unitate de ordin n).

se numeste inversa matricii patratice nesingulare A de ordin n.

Daca matricea A este patratica de ordin n, singulara sau A este matrice dreptunghiulara de tip , inversa nu exista dar exista inversa generalizata .

Daca A este matrice de tip , este matrice de tip care satisface relatia . Daca A este matrice patratica de ordin n nesingulara, este tot matrice patratica de ordin n. Daca A este matrice patratica de ordin n, nesingulara, avem

Daca A este o matrice dreptunghiulara de tip m x n , inversa la dreapta A_d^-1 este o

matrice dreptunghiulara de tip n x m astfel ca A. A_d^-1 = I_m . Daca :

A_d^-1 este solutia X de tip n x m a ecuatiei matriciale A.X = I_m .

ecuatia matriciala A.X = I_m se reduce la m sisteme liniare de m ecuatii cu n necunoscute

fiecare , de forma A.X_i = E_i ;(i=1, . ,m) , care se rezolva cu programul SISTEM .

Aceste sisteme liniare sunt toate compatibile daca si numai daca :

Rang(A) = Rang(A E₁) = . = Rang(A E_m)

Pentru m < n conditia este indeplinita deci pentru m < n inversa la dreapta A_d^-1 exista dar nu este unica .

Inversa la dreapta A_d^-1 permite rezolvarea sistemelor matriciale X.A = B unde A,B,X

sunt matrici , cu solutia X = B.A_d^-1 .

Daca A este o matrice dreptunghiulara de tip m x n , inversa la stanga A_s^-1 este o

matrice dreptunghiulara de tip n x m astfel ca A_s^-1. A = I_n .

Prin transpunere avem : A^T.(A_s^-1)^T = I_n deci (A_s^-1)^T = (A^T)_d^-1 asa ca A_s^-1 = ((A^T)_d^-1)^T.

Pentru m > n A_s^-1 exista dar nu este unica .

Inversa la stanga A_s^-1 permite rezolvarea sistemelor matriciale A.X. = B unde A,B,X

sunt matrici , cu solutia X = A_s^-1.B .

Suma directa a matricilor:

Fie este o matrice de tip iar este o matrice de tip , suma lor directa de tip are forma:

Produsul direct al matricilor:

Daca este o matrice de tip si este o matrice de tip , produsul lor direct de tip are forma:

1.3.2 Indicatori numerici ai matricilor

Urma unei matrici patratice:

Daca este o matrice patratica, urma sa este suma elementelor de pe diagonala principala:

Determinantul unei matrici patratice:

Fie A o matrice patratica de ordin n: . Orice aplicatie bijectiva a multimii pe ea insasi, o vom numi permutare si o vom nota

Multimea a permutarilor fata de compunerea permutarilor ca functii, formeaza un grup , numit grupul simetric.

O inversiune in permutarea este o pereche de valori cu si . Signatura permutarii este o functie cu doua valori: 0 daca contine un numar par de inversiuni si 1 daca contine un numar impar de inversiuni.

Notatie:

Determinantul matricii patratice A este:

O matrice patratica A se numeste nesingulara daca si singulara daca .

Rangul unei matrici dreptunghiulare:

Daca este o matrice de tip rangul matricii A notat este ordinul celui mai mare minor nenul, numit minor principal. Aceasta inseamna ca:

a)    Exista cel putin un minor de ordin r nenul (minorul principal)

b)    Toti minorii de ordin sunt nuli.

In acest caz, toti minorii de ordin sunt nuli.

Avem: .

O matrice A de tip se numeste matrice de rang maxim daca .

Daca matricea de rang maxim A este patratica atunci si , matricea A numindu-se nesingulara.

Norma unei matrici dreptunghiulare

Daca este o matrice de tip , norma euclidiana a matricii A este:

Aceasta norma satisface axiomele:

a)   

b)   

c)    (inegalitatea triunghiului)

d)   

Norma euclidiana nu este singura norma a matricii A.

Exemplu

satisface axiomele a) - d) de mai sus, fiind deci o alta norma a matricii A.

Matricea Gram a unei matrici dreptunghiulare:

Fie o matrice de tip si fie de tip transpusa sa.

Matricea Gram a matricii A, notata , este .

Matricea Gram este matrice patratica de ordin m si este simetrica adica deci .

1.3.3 Proprietati ale operatiilor si indicatorilor numerici ai unei matrici

I. Transpusa unei matrici dreptunghiulare:

II. Inversa unei matrici patratice nesingulare:

III. Inversa generalizata a unei matrici dreptunghiulare:

IV. Urma unei matrici patratice:

V. Determinantul unei matrici patratice:

det(A^T) = det(A)

VI. Rangul unei matrici dreptunghiulare:

rang(A^T)=rang(A)

VII. Matricea Gram a unei matrici dreptunghiulare

1.3.4 Clase de matrici patratice

Matrice de permutari:

Se obtine permutand intre ele liniile sau coloanele matricii - unitate E.

Fie permutarea . Avem

Rezulta deci A este matrice ortogonala .

Exemplu

Fie permutarea . Avem matricea permutarii de forma:

Matrice diagonala:

deci . Avem

Pentru obtinem matricea scalara cu

Matrice bidiagonala Jordan:

Matrice triunghiulara:

Avem pentru (matrice superior triunghiulara):

Avem pentru (matrice inferior triunghiulara):

In ambele cazuri avem Det(A) = a₁₁.a₂₂ . a_nn . Matricea diagonala de la punctul 2) este si superior si inferior triunghiulara.

Matrici tridiagonale:

Avem pentru si :

Matrici simetrice:

Avem deci adica .

O matrice simetrica A pentru care se numeste matrice de proiectie.

De exemplu matricile si sunt matrici de proiectie.

Matrici antisimetrice:

Avem deci adica

Matrici semiortogonale:

Avem unde D este matrice diagonala. Rezulta si

Matrici ortogonale:

deci si

Matrici normale:

Avem deci . Matricile simetrice, antisimetrice si cele ortogonale sunt normale.

Matrici diagonalizabile:

A este matrice diagonalizabila daca exista matricea patratica S de ordin n cu astfel ca este matrice diagonala. Daca S este ortogonala, atunci matricea A se numeste ortogonal - diagonalizabila. Orice matrice normala este ortogonal - diagonalizabila.

Matrici nenegativ - definite si pozitiv - definite:

Matricea simetrica A este nenegativ definita daca pentru orice vector - coloana X cu n componente reale, avem . In acest caz valorile proprii ale matricii A (cap. 4) sunt .

Matricea simetrica A este pozitiv definita daca pentru orice vector - coloana X cu n componente reale avem . In acest caz valorile proprii ale matricii A (cap. 4) sunt .

In mod similar se definesc matricile nepozitiv definite () si matricile negativ definite ()

Matrici nenegative si pozitive:

Matricea A este nenegativa daca pentru orice si orice .

Matricea A este pozitiva daca pentru orice si orice .

Matrici dublu stochastice:

Sunt matricile nenegative cu

Orice matrice de permutari este dublu - stochastica. Reciproc, orice matrice dublu stochastica este o combinatie liniara convexa de matrici de permutari.

Matrice Vandermonde:

Avem unde x₁, . ,x_n IR si pentru . Rezulta

.

Avem

Matrice circulant:

Avem deci unde a₀,a₁, . ,a_{n -1} IR

Fie . Avem

Matrici Toeplitz:

Avem deci vom avea:

unde a _{- n +1}, a _{- n +2}, , a₀, a₁, , a_{n - 2} , a_{n - 1} IR

Elementele matricii Toeplitz sunt simetrice fata de diagonala a doua a matricii.

Fie matricile Toeplitz: ;

Avem:

Matrice Hankel:

Avem asa ca:

Matricea Hankel este o matrice simetrica.

Fie deci

Avem proprietatile:

a)    T = matrice Toeplitz T PT = matrice Hankel

b)    T = matrice Hankel T PH = matrice Toeplitz

Rezumat

In acest capitol se prezinta axiomele corpului numerelor reale R , axiomele multimii Rⁿ ca spatiu vectorial , axiomele marimilor metrice ale vectorilor(norma,distanta,produs scalar, unghi,produs vectorial,produs mixt) si operatiile cu subspatii vectoriale ale lui Rⁿ (intersectie,suma,suma directa,suma ortogonala,complement ortogonal).

Se prezinta deasemenea operatiile cu matrici(adunare,scadere,inmultire,inversa A^-1,

inversa generalizata A⁺ ,suma directa , produs direct) , indicatorii numerici ai matricilor

patratice(urma,determinant,rang,norma) si clasele principale de matrici(18 clase).

1.5 Intrebari

Enumerati definitiile si axiomele marimilor metrice ale vectorilor in Rⁿ :

norma,distanta,produs scalar,produs vectorial,produs mixt.

Interpretati in spatiul R³ pentru planul si dreapta care trec prin origine operatiile

cu subspatii vectoriale : intersectie,suma,suma directa , suma ortogonala,complement

ortogonal.Demonstrati proprietatile din sectiunea 1.3.3

1.6 Bibliografie

Stanasila O. " Analiza liniara si geometrie "Vol. I - II,Editura ALL ,2000 - 2001

Cenusa Gh. si col." Matematici pentru economisti " Editura CISON,2000

Cenusa Gh. si col." Matematici pentru economisti - culegerede probleme" Editura CISON,2000

4. Ene D. " Matematici (I) " Editura CERES , 2004

5. Gogonea S. , Ene D. " Analiza numerica " Editura Cartea Universitara , 2005

6. Ene D. ,Gogonea S. " Metode numerice" Editura Cartea Universitara , 2005