 |
|
 |  |
|
|
| |
 | Biologie | Chimie | Didactica | Fizica | Geografie | Informatica |
| Istorie | Literatura | Matematica | Psihologie |
DEZVOLTAREA GANDIRII LOGICE
A ELEVILOR PRIN ACTIVITATEA DE REZOLVARE
SI COMPUNERE DE PROBLEME
1. Conceptul de problema si rolul ei in invatarea matematicii
Notiunea de problema are un continut larg si cuprinde o gama larga de preocupari si actiuni din domenii diferite.
In sens psihologic "o problema" este orice situatie, dificultate , obstacol intampinat de gandire in activitatea practica si teoretica pentru care nu exista un raspuns gata formulat.
In general, orice chestiune de natura practica sau teoretica (pentru care nu exista un raspuns gata formulat ), care reclama o solutionare, o rezolvare, poarta numele de problema . Referindu-ne la matematica, prin problema se intelege o situatie a carei solutionare se poate obtine esential prin proces de gandire si calcul. Problema de matematica reprezinta transpunerea unei situatii practice sau a unui complex de situatii practice in relatii cantitative si aflate intr-o anumita dependenta unele fata de altele si fata de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori.
O problema de gandire apare atunci cand nu putem face fata unei situatii noi prin solutii existente in experienta dobandita, prin mijloacele invatate.
Etimologic pro-ballein inseamna ceea ce ti se arunca in fata ca bariera, obstacol; prin extensie, ceea ce constituie o dificultate teoretica sau practica a carei inlaturare este pusa sub semnul intrebarii.
Intrucat dificultatea se prezinta ca o lacuna a cunoasterii, ea consta intr-un sistem de intrebari asupra unei necunoscute si nu consta intr-o singura intrebare.
Activitatea de rezolvare a problemelor de matematica scolara constituie un cadru optim pentru cultivarea creativitatii in special pentru dezvoltarea gandirii logice. Procesul de gandire se declanseaza ori de cate ori nu putem face fata unei situatii noi ,situatie-problema, numai prin mijloacele invatate.
Viata constituie un permanent furnizor de probleme intrucat in activitatea practica si teoretica a omului se ivesc in mod frecvent probleme. De aceea gandirea este in continuu solicitata si confruntata cu probleme de cele mai variate ce se cer rezolvate.
In cadrul complexului de obiective pe care le implica predarea-invatarea matematicii, in invatamantul primar, rezolvarea problemelor reprezinta o activitate de profunzime cu caracter de analiza si sinteza superioara. Ea implica eforturi mintale de intelegere a celor invatate si aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stapanirii unui repertoriu de cunostinte matematice solide, notiuni, definitii, reguli, tehnici de calcul, precum si deprinderi de aplicare a acestora.
Rezolvarea problemelor pune la incercare in cel mai inalt grad capacitatile intelectuale ale elevilor, le solicita acestora toate disponibilitatile psihice, in special inteligenta, motiv pentru care in clasele I-IV programa de matematica acorda problemelor o mai mare atentie. Mobilizarea elevilor in rezolvarea problemelor este superioara altor demersuri matematice deoarece elevii sunt pusi in situatia de a descoperii ei insusi modalitati de rezolvare si solutia, sa formuleze ipoteze si apoi sa le verifice, sa faca asociatii de idei si corelatii inedite.
Dezvoltarea gandirii logice prin rezolvarea si compunerea
problemelor de matematica
Ritmul alert al rezolvarii competitiei in toate domeniile de activitate ne impune sa gandim repede si bine. Matematica contribuie, in foarte mare masura, la dezvoltarea gandirii logice, a spiritului de receptivitate, al rationamentului etc.
In clasele I-IV se insusesc notiunile de baza" Instrumentele" cu care elevul va "opera"pe tot parcursul vietii si pe care se cladeste intregul sistem al invatamantului matematic. Elevii intampina greutati daca nu-si insusesc la timp aceste notiuni. Un elev care nu a invatat sa calculeze corect, cheltuieste o cantitate de energie in plus si nu poate sa urmareasca firul rationamentului unui exercitiu sau a unei probleme. Dificultatea pe care le intampina nu-l mobilizeaza pentru noi incercari si duc la scaderea increderii in puterile sale. Daca elevul simte ca patrunderea in miezul notiunilor matematice, daca el traieste bucuria fiecarui succes, mare sau mic, toate aceste trairi cultiva interesul si dragostea pentru matematica.
Manualele alternative de matematica de clasa I sunt carti bogat ilustrate, saturate in imagini intuitive prelungind, prin majoritatea capitolelor lor procedura de redare a cantitatilor specifica si accesibila varstei prescolare. Este meritorie insa preocuparea manualelor de clasa I de a prezenta datele primelor probleme pe care le rezolva elevii in imagini si de a-i invata sa rezolve problema gandind pe aceste imagini.
Pornind de la aceste considerente inca din clasa I se pot prezenta elevilor probleme (datele, conditia, intrebarea) astfel incat ei sa inteleaga ce inseamna rezolvarea problemei, cum se rezolva o problema simpla, iar mai tarziu una complexa.
Pentru ca activitatea de rezolvare de probleme sa-si materializeze valentele formative in directia dezvoltarii gandirii logice este nevoie de un continut al problemelor si o orientare a activitatii de rezolvare a lor adecvate acestui scop.
Astfel in clasa I unde marimile sunt aratare intuitiv prin intermediul multimilor de obiecte concrete-copii, masini, avioane, fructe, veverite, pasari etc. care prilejuiesc perceptia senzoriala a cantitatilor "se vor deschide ochii" scolarilor catre lumea raporturile matematice reducand simtitor intuitivul mai ales in cazul problemelor cu text.
Pentru a formula la elevii clasei I o gandire logica ei vor fi invatati din ce si cum sa creeze. Se formeaza la elevi capacitatea de a sesiza probleme, de a pune si constientiza problema.
La capitolul "Numere mai mici decat zece", paralele cu predarea si invatarea fiecarui numar natural, cu scrierea cifrelor respective, in fiecare lectie, se pot adauga informatii noi referitoare la activitatea de rezolvare de probleme. Dupa manual elevii compun si rezolva probleme. Exemplu:
"Intr-un aeroport se aflau 7 avioane. A mai aterizat un avion. Cate avioane se afla acum?"
Pentru a dezvolta gandirea creatoare la elevi trebuie sa fie incurajati in activitati, sa fie apreciat efortul depus si sa fie stimulati chiar si atunci cand acestea vor da raspunsuri complet eronate. Si se vor adresa intrebari de tipul:
"Mai gandeste-te, cum mai putem socoti? Cum se mai poate judeca? Nu se poate si altfel ?Cum mai putem spune?"
Au nevoie de astfel de intrebari indeosebi acei elevi care au gandire lenta, reusind in acest fel sa rezolve si ei probleme, fara a se crea situatii de punere in inferioritate fata de ceilalti colegi.
Dezvoltarea potentialului de gandire si creativitate se realizeaza prin activitati care solicita independenta, inteligenta, originalitatea. De aceea invatatorul trebuie sa fie receptiv la ceea ce intereseaza si le place copiilor la ceea ce vor si pot realiza valorificand in activitati toate fortele lor si satisfacandu-le toate interesele.
La clasa I la "Adunarea si scaderea numerelor naturale" se poate orienta gandirea elevilor spre situatii problema a caror solutie are un caracter inductiv, plecand de la ideea posibilitatii gasirii optime de mai multe posibile, care au o valoare cognitiva constituind un mijloc de creativitate.
Plecand de la exercitii de tipul ? + ? = 10 sau ? + ? = 4 in care elevii erau pusi in situatia de a gandi mai multe variante de scriere a unui numar, au calculat problema de acest fel:
"Pe lac sunt 5 gaste, mai vin 5 gaste. Cate gaste sunt pe lac?"
Acelasi continut dar folosind alte numere au avut si celelalte posibilitati de scriere a numarului 10.
1 + 9 = 10
6 + 4 = 10
Exemplu " Pe lac sunt 3 gaste, mai vin 7 gaste. Cate gaste sunt pe lac ?" etc.
Ulterior se cere elevilor sa gaseasca un alt enunt al problemei, dar folosind aceleasi date.
Pentru 6 + 4 = 10 se pot compune probleme de tipul :
1. Florin are 6 lei. Mama ii mai da 4 lei. Cati lei are el ?
Ileana are 6 batiste. Sora sa are 4 batiste .Cate batiste au impreuna?
3. Intr-un garaj sunt 6 autocamioane. Au mai venit 4 autocamioane. Cate autocamioane sunt in total?
Compunand si rezolvand aceste probleme se realizeaza una dintre cele mai importante etape ale cultivarii gandirii logice. Confruntarea elevilor cu probleme implica scopul rezolvarii, constiinta dificultatilor de rezolvare si o anumita motivatie.
In sarcina invatatorului nu mai ramane decat asigurarea concrete prin care sa-i puna pe elevi in situatia de a intelege continutul problemei ca si insusirea de catre elevi a disciplinei activitatii de rezolvare de probleme. Acest proces este uneori ingreunat , la inii elevi, din cauza slabelor deprinderi de calcul, efortul lor concentrandu-se nu asupra liniei rationamentului problemei ci asupra efectuarii calculelor.
Cateodata procesul de rezolvare al problemelor este ingreunat datorita unor termeni sau expresii neintelese.
De exemplu in problema :
"Un magazin de textile a vandut intr-o zi 24 camasi de copii si 15 camasi de barbat. Cate camasi din cele doua sortimente a vandut ?" copiii au dovedit ca nu stiu ce inseamna "sortimente", fapt care a deplasat atentia lor de la rationamentul problemei, aparent simplu catre acest termen. Numai dupa explicarea cuvantului elevii si-au dat seama ca rezolvarea problemei nu este dificila si au rezolvat-o destul de usor. Dintre problemele simple ce se rezolva in clasa I se pot enumera cele bazate pe :
1.adunare:- de aflare a sumei a doi termeni;
- de aflare a unui numar mai mare cu un numar de unitati decat un numar
dat;
- probleme de genul "cu atat mai mult "
scaderea:- de aflare a restului
- de aflare a unui numar care sa aiba un numar de unitati mai putine decat
un numar dat
- de aflare a unui termen cand se cunoaste suma si un termen al sumei
- probleme de genul "cu atat mai putin"
Rezolvand probleme de acest fel se observa ca elevii le considera simple si de multe ori neglijeaza intrebarea, neglijeaza datele sau chiar confunda operatiile.
Rezolvarea problemelor simple prezente in manualele alternative pentru clasa a-II-a, este unul din urmatorii pasi orientati spre exersarea flexibilitatii si fluentei gandirii. Dar nu numai gandirea este mobilizata in rezolvarea unei probleme, ci intreaga personalitate a celui ce rezolva probleme in toate coordonatele ei rationale, afective, volitive."
Nu se lucreaza in matematica numai cu mintea - spune E. Rusu.
Pasiunea matematica - ea este motorul activitatii. Un rol important al profesorului este sa calauzeasca activitatea celui care invata in asa fel incat acesta sa simta farmecul, atractia specifice acestei activitati. Nu numai sa-l ajute sa inteleaga ci sa-l ajute sa simta."[1]
In acest scop se pot rezolva cu elevii clasei a-II-a probleme incepand cu cele usoare in care enuntul indica si calea de rezolvare - asa numitele probleme cu rezolvarea succesiva - deoarece datele se iau in rezolvare in ordinea din enunt. De exemplu: "Radu are 10 timbre. Ioana ii mai da de 8 ori mai multe. Cate timbre are Radu?"
Asemenea probleme sunt apropiate cu cele rezolvate in clasa I numai ca datele sunt in relatie "de atatea ori mai mare(mai mic).Scrise sub forma literala ele vor arata astfel:
1. a + a x b ( cand problema contine relatia "de atatea ori mai mare")
a + a : b (cand problema contine relatia " de atatea ori mai mica")
Se pot rezolva cu elevii clase a-II-a probleme de acest fel pana cand se constata ca ei au inteles bine structura logica a categoriei respective de probleme.
Aparitia ideii in rezolvarea problemei este in esenta un act de descoperire cu toate implicatiile lui psihice. G. Polya spunea ca: "O mare descoperire dezvolta o problema mare; dar daca ea iti starneste curiozitatea, si-ti pune in joc facultatile inventive si daca o rezolvi prin mijloacele tale proprii atunci poti incerca tensiunea si bucuria triumfului descoperirii. Asemenea incercare la o varsta potrivita poate crea gust pentru munca intelectuala si poate sa-si puna pecetea in mintea si-n caracterul copilului pentru o viata
intreaga."[2]
In cele ce urmeaza ma voi opri la cunostinte de matematica specifice clasei a-II-a.
De exemplu: sa descopere toate combinatiile de termeni cand se da suma a doua numere, respectiv factori cand se da produsul lor; sa se deduca tabla impartirii din tabla inmultirii, sa rezolve o problema in mai multe moduri etc.
Orice problema trebuie vazuta in alcatuirea ei concreta, ca o suita de actiuni, fapte de viata. Se recomanda ca primele probleme sa imbrace forma intamplarilor reale la care sunt pusi sa participe elevii.
"Nicu are 5 creioane colorate si Olguta ii mai da inca 3 creioane. Cate creioane are Nicu ?"(Olguta ii mai da lui Nicu 3 creioane). Introducerea problemelor compuse am facut-o treptat, regizand probleme actiuni de felul: "Ionut are 6 creioane colorate, iar Danut cu 3 creioane mai multe. Ca te creioane are Danut?"
Asemenea probleme simple se transforma in probleme compuse, prin intrebarea: "Cate creioane colorate au impreuna cei doi copii?"
Elevii intampina greutati uneori pentru ca nu pot traduce relatiile din textul problemei in relatii matematice.
De asemenea, la rezolvarea urmatoarei probleme:" Sandel are 9 bomboane, iar Ramona de trei ori mai multe .Cate bomboane au in total?"
Cativa elevi au rezolvat-o gresind, luand pe 3 ca valoare numerica adaugata celelalte valori.
Aceste greseli se datoreaza faptului ca elevii nu inteleg relatiile dintre marimile unei probleme. De aceea, am facut multe exercitii de precizare a limbajului matematic, a notiunilor: suma, diferenta, produs, cat si a relatiilor: cu atat mai mare ( mai mult) sau mai mic ( mai putin ), de atatea ori mai mult ( mai mare ), de atatea ori mai putin ( mai mic ). Exemplu:
1.Gaseste numerele:
a)cu 9 mai mare decat 5
b)de 9 ori mai mare decat 5
c)cu 7 mai mici decat 63
d)de 7 ori mai mici decat 63
Din suma numerelor 25si 7 scadeti diferenta numerelor 23 si 9.
La jumatatea numarului 12 adaugati sfertul numarului 16.
3.Adauga produsul numerelor 6 si 8 cu catul numerelor 36 si 4.
Aceste exercitii constituie o adevarata gimnastica a mintii si nu trebuie sa lipseasca din ora de matematica.
Atunci cand elevul stie sa transpuna in limbaj matematic exercitiile: "mai mult", "mai putin", "de atatea ori mai mult", "de atatea ori mai putin2 ca fiind vorba de adunare, scadere, inmultire, impartire, el stie sa stabileasca corect operatia ceruta de relatia dintre datele unei probleme. Dupa multe exercitii de precizare a limbajului matematic elevii au rezolvat corect problema ca in exemplul urmator.
"Nicu are 24 de timbre, Alex are cu 3 timbre mai multe decat Nicu, iar Adrian are de 3 ori mai putine timbre decat Alex. Cate timbre au in total cei trei copii?"
Le-am explicat elevilor ca nu totdeauna enuntul problemei duce direct la rezultat ca in cazul urmator:
Dupa ce a primit de la fratele ei 6 mere, Olguta are 14 mere. Cate mare a avut Olguta?
In acest caz, intre gandirea problemei si limbaj s-a introdus o contradictie. Problema trebuie sa se rezolve prin operatia de scadere , desi limbajul in care este redata sugereaza adunarea.
Activitatea de rezolvare a problemei contribuie la dezvoltarea gandirii
independente si creatoare. Copilul de varsta scolara mica adopta o atitudine creatoare atunci cand, pus in fata unei probleme, ii structureaza datele si descopera calea de rezolvare intr-un mod personal.
Creativitatea gandirii nu se poate produce decat pe baza unor deprinderi corect formulate, tehnici de calcul, deprinderi de a stabili rationamente logice, un volum bogat de cunostinte pentru a elabora un enunt cu continut realist.
Rezolvarea problemelor in mai multe moduri este un antrenament creativ. Elevii au rezolvat in trei moduri problema urmatoare:
"Bunica a plantat 5 randuri cu cate 10 fire de gogosari si 3 randuri cu cate 10 fire de ardei. Cate fire de rasad a plantat bunica?"
I .5 x 10=50 II. 5+3=8
3 x 10=30 8 x 10=80
50+30=80
III.(5x 10)+(3x 10)=50+30=80
sau (5+3)x10=8x 10=80
Problemele care admit mai multe procedee de rezolvare cultiva mobilitatea gandirii, creativitatea, perspicacitatea. Este mai bine sa se rezolve o problema in mai multe moduri decat sa se rezolve doua-trei probleme de acelasi fel si in acelasi mod. Creativitatea gandirii se dezvolta si cand li se cere elevilor sa formuleze intrebarea problemei sau sa formuleze alta intrebare. De exemplu : formulati alta intrebare pentru problema urmatoare:
"Intr-o cusca sunt 7 iepuri, iar in alta cu 2 iepuri mai mult. Ionica a vandut un sfert din ei. Cati iepuri a vandut Ionica?" elevii au formulat intrebarea: " Cati iepuri mai are Ionica?
Rezolvarea in doua sau mai multe moduri ale unei probleme ajuta foarte mult la dezvoltarea gandirii logice, constituind activitatea matematica cea mai bogata in valente formative in ea concentrandu-se intreaga experienta dobandita de elevi atat in studierea si cunoasterea numerelor cat si a calculului, acestea devenind elemente auxiliare in rezolvarea problemelor .
O problema asupra careia se poate insista, deoarece se considera ca are prin rezolvare importante valente formative si cultiva creativitatea elevilor, este urmatoarea:
"La un magazin s-au adus 869 l ulei. In prima zi au vandut 120 l, iar in ziua a-II-a s-au vandut 212 l ulei .Cati litri de ulei au mai ramas?"
Judecati astfel incat problema sa se rezolve:
a) printr-o adunare si o scadere;
b) prin doua scaderi;
c) printr-o scadere (sub forma de exercitiu).
Rezolvarea problemei cu ajutorul schemei dovedeste gradul de constientizare a celor trei cai de rezolvare a problemei:
a) 869 l120 l..212 l..?
+
332
l
537 l
Rezolvarea cu plan va arata astfel :
1.Cati litri de ulei sau vandut?
120 + 212 = 332 l
Cati litri de ulei au mai ramas?
869 - 332 = 537 l
b) sau 869 l . . . . . . . . 120 l . . . . . . . ..212 l . . .?
749 l
537 l
1.Cati litri de ulei au ramas dupa prima zi?
869 l - 120 l = 749 l
Cati litri de ulei au ramas dupa ziua a doua?
749 -212 = 537 l
c) Problema a fost rezolvata apoi si sub forma unui singur exercitiu astfel:
1.Cati litri de ulei au mai ramas?
869 l - 212 l-120 l = 537 l
Rezolvarea problemelor cu ajutorul schemei grafice si redarea sintetica a problemei in formula numerica, repunerea problemei in exercitiu au contribuit la educarea profunzimii
si mobilitatii gandirii.
In psihologia scolara s-a stabilit ca toate insusirile psihice inclusiv gandirea creativa se formeaza in procesul vietii si activitatii organizate in scoala.
Inainte de a trece la cultivarea creativitatii prin probleme la clasa a-III-a am incercat sa precizez obiectul actiunii mele formative, adica am raspuns la intrebarea "Ce doresc sa cultiv la elevi?"
Am cautat sa creez cadrul specific participarii efective la procesul de instruire si formare urmarind: adecvarea metodologiei didactice la colectivul de elevi, la particularitatile de varsta si individuale, crearea suportului afectiv necesar participarii efective si eficiente la procesul instructiv-educativ prin stimulari repetate, aprecieri pozitive in caz de reusita, jocuri didactice, concursuri intre grupe de elevi, acordarea sprijinului necesar insusirii cunostintelor si deprinderilor prevazute in programa ce urmeaza a fi parcursa in continuare.
Pe langa activitatile destinate in special acestui scop, in afara orelor de clasa, in cadrul fiecarei secvente de activitate independenta din cadrul lectiilor desfasurate in conditii simultane, elevii au primit sarcini de lucru individuale sau pe grupe mici rezolvate sub supravegherea invatatorului.
In procesul analizei, aprecierii si rezolvarii unor probleme de gandire am elaborat probleme de aritmetica cu date numerice incomplete si probleme cu date numerice redactate cerand elevilor sa le rezolve.
Prin probleme: "O barca cu motor si un vapor au plecat in acelasi timp mergand unul spre altul. Dupa 4 ore se intalnesc. Stiind ca vaporul a mers cu viteza de 36 km / h sa se afle distanta dintre cele doua porturi", se urmareste modul in care elevii stabilesc raporturile matematice mascate in conditia problemei, daca sesizeaza de la inceput lipsa din enuntul problemei a vitezei de deplasare a barcii cu motor data, fara de care problema nu poate fi corect rezolvata.
Dupa analiza rezultatelor se constata ca 22 % din elevi sesizeaza inca de la inceput ca problema este incompleta; 37 % constata pe parcursul incercarilor gresite iar 37 % nu sesizeaza deloc acest lucru, efectuand operatiile aritmetice cu datele existente, fara a se verifica daca prin operatiile efectuate se obtine raspunsul la cerinta problemei.
Si problemele de aritmetica cu date redondante dezvolta la elevi capacitatile creative. De exemplu: "In gradina scolii s-au plantat: 7 randuri cu cate 12 trandafiri,15 randuri cu cate 32 meri si 10 randuri cu cate 12 peri. Cati pomi s-au plantat in gradina aceste scoli?"
Prezenta date" 7 randuri cu cate 12 trandafiri" a dus la o sinteza gresita a problemei astefel incat 50% din elevi au stabilit gresit raportul dintre datele problemei .Exersand cu mai multe probleme de acest fel se cultiva la elevi gandirea critica care se exprima prin: sesizarea datelor numerice de prisos indata ce elevul se familiarizeaza cu continutul problemei, preintampinandu-si calculele gresite cu aceste date (sau constatarea greselilor de calcul cu aceste date, sau constatarea greselii) si eliminarea lor din problema pe calea incercarilor nereusite de rezolvare a acestora.
Din cele prezentate rezulta ca nu poti rezolva corect o problema daca nu manifesti sensibilitate la contradictii si greseli logice, daca nu sesizezi erorile si cauzele care le genereaza.
Gandirea productiva, originala cu elemente de noutate implica luarea de pozitie critica dar si creativa utilizand " abilitatile gandirii nu pentru a comunica un argument ci pentru a produce, a descoperi ceva ce este nou si de valoare" .
In
sprijinul cultivarii capacitatilor creative la elevii clasei
a-III-a se recurge la rezolvari si probleme cuprinzand :probleme
rezolvate in mod independent dupa modelele realizate de
invatator, probleme date ca sarcini de lucru individuale sau pe
grupuri restranse in care elevii realizeaza singuri modelul
logico-matematic de rezolvare; solicitarea elevilor de a identifica probleme
din manual, culegeri sau fise de lucru care se pot rezolva in mai multe
moduri si rezolvarea lor efectiva in modurile descoperite: compuneri
de probleme in care sa intervina un anumit numar de
operatii, mai mare sau mai mic in raport cu posibilitatile
fiecarui elev in parte.
Se cunoaste faptul ca in clasa a-III-a problemele se diversifica. De la problemele ce se rezolva prin 2-3 operatii se trece la probleme ce se rezolva prin mai multe operatii.
Aceasta nu inseamna ca deprinderile anterior formate se
anuleaza pentru a lasa loc unor noi deprinderi. Cu prilejul trecerii de
la o categorie de probleme la alta se intareste si se
reactualizeaza elementele comune astfel incat ele sa constituie
modalitati de explicare a noilor date si nu frana pentru
ele, sa constituie sprijin pentru gasirea unor noi
modalitati de rezolvare proprii noii categorii de probleme. In
clasa a-III-a si mai mult in clasa a-IV-a se acorda un numar
insemnat de ore, cum de altfel prevede si programa scolara,
rezolvarii problemelor tip. Este vorba de metoda figurativa care
apare inca din clasa a-II-a si in manualul de clasa a-IV-a cand se
acorda un numar mare de ore rezolvarii problemelor prin
aceasta metoda. Se insista asupra
rezolvarii prin doua metode a problemelor in care cunoscandu-se suma
si diferenta a doua numere se cere aflarea lor. "Un
cablu lung de 524 m este taiat in doua bucati astfel incat
o bucata sa fie mai mica decat celelalte cu 80 m. Cati
metri are fiecare bucata?" Rezolvare I: 
Cati metri au cele doua bucati daca ar fi egale?
524 - 80 = 444 m
Cati metri are prima bucata de cablu?
444 : 2 = 222 m
Cati metri de cablu are a doua bucata de cablu?
222 + 80 = 302 m sau 524 - 222 = 302 m
Rezolvarea a-II-a :
Aflati cati metri au cele doua bucati de cablu daca ar fi egale ?
524 + 80 = 604 m
Aflati cati metri are a doua bucata de cablu ?
604 : 2 = 302 m
Aflati cati metri are prima bucata ?
302 - 80 = 222 m sau 524 - 302 = 222
Se por rezolva de asemenea si probleme in care cunoscandu-se suma (sau diferenta) lor si de cate ori este mai mare (sau mai mic) un numar fata de altul. Se cere sa se afle cele doua numere. Dupa rezolvarea unui numar mare de probleme de acest tip, dar diverse ca mod de rezolvare se poate generaliza rationamentul de rezolvare, formand la elevi o gandire creatoare. Una din aceste probleme este si urmatoarea : "Patru frati, Mircea, Ionel, Sandu si Laurentiu au o suma de bani. Sandu are de 5 ori mai putini decat Ionel, Ionel de doua ori mai mult decat Mircea, iar Mircea de 3 ori mai putin decat Laurentiu. Sa se afle ce suma detin impreuna stiind ca Ionel are 3500 lei."
Schema ca rezultat al unei invatari active urmeaza procesul de rezolvare a unor probleme prin folosirea calculelor ne efectuate anterior sub forma de exercitii combinate.
a b c d e
3500 3500 : 2 3500 : 5 (3500 : 2) x 3 a + b + c + d
Unde : - a reprezinta suma detinuta de Ionel;
- b reprezinta suma detinuta de Mircea;
- c reprezinta suma detinuta de Sandu; - - d reprezinta suma detinuta de Laurentiu;
- e reprezinta suma totala.
Dupa aceasta schema rezolvarea acestei probleme se face destul de usor. Un rol deosebit de important in dezvoltarea gandirii logice o au si rezolvarea problemelor prin metoda mersului invers (retrograda).In aceste probleme judecata se porneste de la sfarsitul enuntului lui, se afla datele intermediare si cu ajutorul acestora se ajunge la aflare necunoscutelor. Exemplu:" Indoitul unui numar, marit cu 3, s-a inmultit cu 4, produsul obtinut micsorat cu 5 s-a impartit cu 9 si s-a obtinut 15.Care a fost numarul initial?" Pusa sub forma de exercitiu problema va arata astfel:
[( 2x + 3 ) x 4 -5 ] : 9 = 15
Iar rezolvarea se va face in felul urmator :
[( 2x +3 ) x 4 - 5 ] =15 x 9
( 2x + 3 ) x 4 - 5 = 135
( 2x + 3 ) x 4 =135 + 5
( 2x + 3 ) x 4 = 140
2x
+ 3 = 140 : 4 2x + 3 = 35
2x = 35 - 3
x =16
Exercitiile de tipul celor degajate din enuntul problemei se pot numi "exercitii"cu x. Ele nu sunt altceva decat ecuatii de gradul I cu o necunoscuta dar care se rezolva prin rationament aritmetic si nu pe baza de calcul algebric. Tratandu-le aritmetic ele vor fi rezolvate usor de elevii claselor I-IV fiind bune prilejuri de consolidare a celor patru operatii aritmetice, precum si relatiilor dintre rezultatele operatiilor si numerele cu care se opereaza. Alaturi de aceste probleme in procesul cultivarii creativitatii se inscriu si problemele ce se rezolva prin metoda aducerii unitare. Asemenea probleme intalnim in manualul clasei a-IV-a cuprinzand atat marimi direct proportionale cat si marimi invers proportionale. Analiza problemelor se dirijeaza astfel incat rezolvarea sa se faca corect fara a se da elevilor notiunile de marimi direct respectiv invers proportionale. Pentru problema "O cantitate de 250 de kg cartofi a fost ambalata in lazi. Dar 375 kg cartofi in cate lazi se vor ambala?" se aseaza datele problemei pe doua siruri in mod corespunzator:
250 kg10 lazi
375 kg.x lazi
Se rationalizeaza astfel: Daca 250 kg, se ambaleaza in 10 lazi atunci pentru a ambala 1 kg ,de cate lazi avem nevoie? De mai multe sau de mai putine? Evident de mai putine. De cate ori mai putine? De 250 de ori mai putine. Deoarece pe noi ne intereseaza in cate lazi se vor ambala 375 kg de cartofi se rationalizeaza in felul urmator. Daca stim ca pentru 1 kg avem nevoie de 10/250 lazi, pentru 375 ne trebuie de 375 de ori mai multe lazi.
Rationamentul de mai sus poate fi scris:
250 kg 10 lazi
1 kg..10/250 lazi
375kg10/250 x 375 = 15 lazi
3.Cum gandim si cum rezolvam probleme de matematica
Conceptia in care a fost construita noua programa de matematica vizeaza schimbari in ceea ce se asteapta de la elevi, schimbari in predare, invatare si in evaluare. In invatare se pune accent pe explorare, investigare, deci nu pe memorare. Firesc, diversele activitati de invatare se realizeaza in functie de nivelul si ritmul propriu de dezvoltarea al elevilor.
Fara a domina catusi de putin rolul determinant al eforturilor personale ale acestora, staruim asupra activitatii invatatorului in calitate de persoana care faciliteaza invatarea si ii stimuleaza pe elevi sa lucreze in echipa si mai putin pe rolul sau de transmitator de informatii adresate unui elev care recepteaza in mod relativ pasiv si lucreaza singur.
Problemele de matematica reprezinta transpunerea unei situatii date sau a unui complex de situatii aflate in relatii cantitative, numerice, unele fata de altele si fata de valoarea cunoscuta, cerandu-se, pe baza unor reguli, valoarea numerica necunoscuta. Elevul trebuie invatat sa-si cumpaneasca bine rationamentul, acesta fiind lucrul cel mai important in rezolvarea problemelor.
In asimilarea acestei discipline, sunt de ne evitat eforturile de invatare a regulilor matematice, incepand chiar din clasele primare: nesfarsite ore si exercitii de insusire a numeratiei in concentrele 1-10; 1-100; 1-1000; exercitii de calcul oral si scris; exercitii de marire si micsorare a unui numar cu cateva unitati sau de cateva ori; exercitii de comparare a numerelor, a sumelor, diferentelor, produselor sau caturilor, de aflare a distantelor, pana a se ajunge la frumoasele probleme supuse rezolvarilor. In aceasta perspectiva, este necesara cunoasterea etapelor care stau la baza tehnicii de rezolvare a problemelor:
a) Intelegerea enuntului este premisa rezolvarii corecte a problemei enuntului si a rationamentului corect.
b) Repetarea enuntului, cu si fara ajutorul unor intrebari suplimentare, e necesara pentru a vedea daca elevii si-au insusit enuntul si semnificatia fiecarei marimi. In aceasta etapa, se pun in evidenta partile principale ale problemei: cunoscuta, datele, conditia si cerinta.
Conditiile reprezinta ansamblul datelor si a sintagmelor care sugereaza o anumita operatie matematica, implicand rezolvarea unei probleme. La nivelul scolii primare, astfel de rezolvari presupun operatii de adunare, scadere, inmultire si impartire.
Cerintele reprezinta ce anume trebuie cautat in conditiile date.
c) Rezolvarea propriu-zisa necesita metode generale bine manuite de invatator. Dupa atenta examinare, se identifica metoda de rezolvare sintetica sau analitica.
Esenta examinarii problemei consta in analiza datelor unor probleme compuse in vederea descoperirii raporturilor dintre ele. Se formuleaza apoi intrebarea potrivita, prin care se poate ajunge la rezolvarea problemei prin analiza succesiva a fiecaruia dintre elementele componente ale enuntului; se realizeaza, practic, o descompunere si recompunere a problemei prin elementele sale componente.
Pentru o mai buna intelegere, vom apela la exemple.
"Intr-un clasor, Costel are 154 timbre, in altul de doua ori mai multe, iar in al treilea cu 106 timbre mai multe decat in al doilea. Cate timbre are Costel in cele trei clas oar e?"
Mersul rationamentului trece de la cunoscut la necunoscut. Elevul iti va pune, succesiv, intrebarile:' Ce stim de la inceput?'. ,,Ce se poate afla apoi?', ,,Ce se afla mai departe?'.
Metoda sintetica duce adeseori mai repede la obtinerea raspunsului la intrebarea problemei decat metoda analitica.
Prin metoda analitica, problema prezentata anterior urmeaza a se rezolva conform urmatoarei scheme:
Rezolvarea problemelor se poate face si pe o cale diferita, pornind de la intrebarea finala catre cele subordonate acesteia.
Analiza si sinteza care reprezinta doua aspecte ale procesului gandirii, sunt legate intre ele si se aplica in unitate si armonie, astfel organizarea problemei prin insasi esenta ei reprezinta un proces analitico sintetic. Astfel spus, in procesul rezolvarii unei probleme se combina analiza cu sinteza. Dupa ce problema a fost analizata prin metodele discutate anterior se trece la realizarea planului. Acest plan nu este altceva decat o linie generala de conduita, ce va fi urmata de rezolvarea problemei.
Dupa gasirea raspunsului se impune acea privire retrospectiva (verificarea rezolvarii date), o faza importanta si instructiva a muncii. Reexaminand rezolvarea, elevii pot sa-si aprofundeze cunostintele, sa capete mai multa abilitate in rezolvarea problemelor, sa ajunga la generalizare.
Daca in rezolvarea problemelor se utilizeaza diagrame pentru a ilustra grafic datele unei anumite probleme, atunci elevii descopera usor legaturile dintre datele problemei si se familiarizeaza usor cu intelegerea sensului concret al operatiilor necesare. Prezint modalitati diferite de folosire a acestor diagrame in rezolvarea problemelor compuse pentru elevii primelor clase ale scolii primare. "Vasilica are 14 nuci, iar Costel cu 9 nuci mai putine decat Ionel. Cu cate nuci are mai mult Vasilica decat Ionel?" Schemele acestei probleme - sintetica si analitica- au urmatoarele infatisari:
|
|
|
|
Multi elevi rezolva cu relativa usurinta trei probleme simple, pe cand nu toti rezolva la fel de usor o problema compusa din trei probleme simple. Problema compusa este un set de probleme simple relationate functional. Dupa ce elevul rezolva un pas, el se afla in fata aceleiasi probleme, dar cu mai putin necunoscut si cu mai mult cunoscut, care-l va ajuta in urmatorii pasi. Aceasta etapa se considera realizata in momentul in care elevul reuseste sa creeze un model grafic pentru o anumita problema.
4. Notiunea de problema si componentele ei: enuntul, datele si intrebarea.
Activitatea de rezolvare si compunere a problemelor de matematica scolara constituie un cadru optim pentru cultivarea gandirii logice.
Notiunea de problema are un continut larg si cuprinde o gama larga de preocupari si actiuni diferite. In general orice chestiune de natura practica sau teoretica ce reclama o solutie, o rezolvare, poarta numele de problema. Referindu-ne la matematica, prin problema se poate intelege o situatie a carei solutionare se poate obtine esential prin proces de gandire logica si calcul.
Orice problema are doua componente: enuntul (datele) problemei si intrebarea (necunoscuta - una sau mai multe) problemei - care satisface conditia problemei. Conditia legala necunoscuta de datele problemei.
'A rezolva o problema inseamna a gasi o iesire dintr-o dificultate, inseamna a gasi o cale de a ocoli un obstacol. A gasi solutia unei probleme este o performanta specifica inteligentei, iar inteligenta este apanajul distinct al speciei umane; se poate spune ca, dintre toate indeletnicirile omenesti, cea de rezolvare de probleme este cea mai caracteristica. '
Prin rezolvarea problemelor de matematica elevii isi formeaza deprinderi eficiente de munca intelectuala care se vor reflecta pozitiv si in studiul altor discipline de invatamant, isi cultiva si educa calitatile moral - volutive. Rezolvarea unei probleme se trece prin mai multe etape care se subimpart in alte doua faze si anume: familiarizarea, cu problema si munca pentru o mai buna intelegere. In acest sens in rezolvarea unei probleme se incepe cu enuntul problemei, cu formularea acesteia in cuvinte urmarind ca elevul sa inteleaga enuntul verbal al problemei si sa-l repete intr-un mod curgator. De asemenea pentru a asigura succesul rezolvarii se urmareste ca elevul sa fie capabil sa puna in evidenta partile principale ale problemei: necunoscuta, datele, conditia. Nu este posibil ca elevul sa formuleze sa formuleze ipoteza si sa construiasca rationamentul rezolvarii problemei decat in masura in care cunoaste termenii in care pune problema. Enuntul problemei contine un minim necesar de informatii. Datele si conditia problemei reprezinta termenii de orientare a ideilor, a analizei, a sintezei precum si a generalizarilor ce se fac treptat pe masura ce se inainteaza spre solutia problemei. Intrebarea indica directia in care trebuie sa se orienteze formularea ipotezei.
Acest minim de informatii adica datele problemei, relatiile dintre ele, intrebarea problemei le receptioneaza in mod obtional elevii prin citirea textului problemei, ilustrarea cu imagini sau chiar cu actiuni cand este cazul. De exemplu problema: "Trei fetite :Ioana,Viorica si Geta au mers in livada sa culeaga mere.Ele au cules impreuna 100 mere.Viorica nu a avut cos si a pus merele culese de ea in cosul Ioanei.Acum Ioana are in cos 58 mere (culese de ea si de a doua fetita).Cand s-au apropiat de casa Ioanei,Viorica si-a dat seama ca fiind vecina cu Geta ar fi bine sa-si puna merele in cosul acesteia.Zis si facut.Si-a luat merele din cosul Ioanei si le-a pus in cosul Getei, care contine cum 65 mere (ale celei de-a doua fetita si a treia fetita). Cate mere au cules fiecare? Problema tip povestire va fi bine inteleasa daca se prezinta elevilor tablouri cu ilustrarea celor doua scene si cand pe tabla se deseneaza schema grafica a problemei:
O alta etapa a rezolvarii problemelor este analiza problemei si intocmirea planului logic.Aceasta este etapa in care se elimina aspectele ce au semnificatie matematica si se eleboreaza prezentarea matematica a enuntului problemei.Acum elevii "construiesc" rationamentul prin care se rezolva problema adica gasesc drumul de legatura intre datele problemei si necunoscuta. Prin exercitii de analiza a datelor, a semnificatie lor a relatiilor dintre ele si a celor dintre date si necunoscute se ajunge de la situatii concrete la situatii abstracte adica la reprezentarea matematica a problemei. In modul in care elevii au transpus problema in relatii matematice, solutia este ca si gasita.Se va trece apoi la cea de-a treia etapa, adica la alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii din planul logic. Se va alege si se va efectua acum calculele din planul de rezolvare, se va constientiza semnificatia rezultatelor partiale ce se obtin prin calculele respective si evident rezultatul final. Dar cea mai importanta etapa a rezolvarii unei probleme care duce implicit la dezvoltarea creativitatii micilor scolari este si va ramane etapa prin care se realizeaza si autocontrolul asupra felului in care si-au insusit enuntul problemei asupra rationamentului realizat si a demersului de rezolvare parcurs.Ea consta im verificarea solutiei problemei, in gasirea si a altor metode de rezolvare si de alegere justificata a celei mai bune. Dupa fiecare rezolvare de probleme se scoate in evidenta categoria din care face parte problema, fixarea algoritmului ei de rezolvare, scrierea (transpunerea) datelor problemei si a relatiilor dintre ele intr-un exercitiu sau, dupa caz in fragmente de exercitii. Avand in vedere toate ecestea, activitatea de rezolvare in ansamblul si in fiecare etapa in parte se desfasoara in maniere specifice, in functie de dificultatile pe care le ridica rezolvarea problemei precum si a posibilitatilor pe care le ofera varsta scolara respectiva si experienta elevilor in rezolvarea problemelor. La clasele I-IV exista o multitudine de probleme care pot fi clasificate astfel: a) - dupa finalitate si dupa sfera de aplicabilitate le structuram in probleme teoretice si aplicatii practice ale notiunilor invatate; b) - dupa continutul lor, problemele matematice pot fi geometrice, de miscare etc.; c) - dupa numarul operatiilor, vom identifica probleme simple si probleme compuse.Problemele simple sunt cele care se rezolva de regula printr-o singura operatie aritmetica si care se intalnesc, cu precadere, la clasa I-a.Problemele compuse sunt acelea care in sirul de rationamente si operatii de rezolvare includ intr-o dependenta logica, mai multe probleme simple. d) - dupa gradul de generalitate al metodei de rezolvare folosite avem probleme generale in rezolvarea carora vom folosi fie metoda analitica, fie metoda sintetica si probleme tipice rezolvabile printr-o metoda specifica: grafica, reducerea la unitate, a falsei ipoteze, a comparatiei; e) - o categorie aparte de probleme asupra carora se insista foarte mult deoarece au multiple valente formative sunt si problemele recreative, rebusistice, de perspicacitate si ingeniozitate (numite nonstandard). Din procesele cognitive cea mai solicitata si antrenanta este gandirea prin operatiile logice de analiza, sinteza, comparatie, abstractizare. Elevul trebuie astfel educat incat, pe baza datelor si a conditiilor problemei,sa descopere drumul spre aflarea necunoscutei. In felul acesta el realizeaza un act de creatie care consta in restructurarea datele propriei sale experiente si care este favorizat de nivelul flexibilitatii gandirii sale, de capacitatea sa combinativa si anticipativa.
La aritmetica, orice rationament, orice rezolvare de probleme, constituie in acelasi timp si o manifestare a gandirii logice. In mod special insa, activitatea gandirii logice a elevilor la acest obiect se concretizeaza in:
- rezolvarea problemei prin mai multe procedee;
compuneri de probleme;
- completarea unor enunturi lacunare; complicarea problemei prin introducerea de noi date sau modificarea intrebarii.
5.Folosirea schemelor in rezolvarea si
compunerea problemelor
Intregul proces de rezolvare a problemelor este un proces analitico-sintetic .
In rezolvarea tipurilor de probleme se foloseste atat metoda analitica cat si cea sintetica deoarece ambele duc la solutia finala. Deosebirea dintre ele consta in punctul de plecare al rationamentului.
Prin metoda sintetica se pleaca de la datele problemei avand in vedere conditia problemei, pentru a ajunge la raspunsul cerut.
Prin metoda analitica se procedeaza invers, pornindu-se de la intrebarea problemei spre datele ei. Examinarea cunoscutei reprezinta o cale de acces. O intrebare antreneaza o alta intrebare.
Incercand sa clarificam problema, incercand sa gasim legaturi si asemanari cu problemele cunoscute s-ar putea sa sesizam ca problemei respective i se poate aplica o anumita schema familiara si atunci facem cativa pasi pe calea ce poate duce la solutie. Pentru scolarii mici este mai accesibila metoda sintetica dar are inconvenientul ca nu solicita suficient gandirea iar generalizarea nu este stimulata. Referitor la folosirea schemelor, la rezolvarea si compunerea problemelor, putem spune ca parcurgand drumul rezolvarii unei probleme, elevii parcurgand drumul schematizarii ei, al desprinderii esentialului care este de fapt structura logica a ei.
'Aceste scheme trebuie sa reflecte,in forma generalizata, relatiile de continut dintre datele problemei, trebuie sa fie o expresie generalizata a acestor relatii ( relatia dintre parti si intreg, relatia dintre multiplicitate si divizibilitate, etc.).O astfel de schema determina felul si succesiunea operatiilor de calcul, care trebuie sa fie efectuate pentru rezolvarea problemei[5].
Actualul manual de clasa I familiarizeaza rezolvarea problemelor cu numeroase scheme si imagini care solicita compunerea problemelor dupa scheme sau imagini date.
Dupa rezolvarea mai multor probleme cu ajutorul schemelor vom putea rezolva urmatoarea problema.
Am desenat pe tabla doua cosuri cu mere.
I-am intrebat pe elevi: 'Ce ar trebui sa stim pentru a afla cate mere sunt in total in cele doua cosuri?'Raspunsul a fost :'Cate mere sunt in fiecare cos !' , ,,Ce am face cu aceste numere?' (Le-am aduna).
Un elev a completat problema alegand si datele :
'Intr-un cos sunt 15 mere iar in altul 40. Cate mere sunt in total in cele doua
cosuri ?
Pornind de la intrebarea problemei am alcatuit schema:
Simplificata, schema arata astfel:
Am complicat apoi problema simpla, transformand-o intr-o problema dezvoltata. 'Intr-un cos, sunt 15 mere iar in altul cu 25 mai multe. Cate mere sunt in total ? '
Din analiza problemei, elevii au observat ca pentru a afla totalul merelor, trebuie sa cunoasca numarul merelor din primul cos si din al doilea cos. Cum a doua marime este necunoscuta, ea va fi aflata cu ajutorul relatiei date ,,mai mult cu 25 decat primul'. Raspunsul il introducem in problema si raspundem la intrebarea finala.
Pentru a
constientiza tipul de probleme intalnite la clasele I-IV am pornit in rezolvare
de la un model. Acesta ofera elevului posibilitatea patrunderii in
procesul de rezolvare, sa vada unitar structura problemei
sesizand organizarea interna a problemei (enuntul).
Exemplu:
'Dan a plantat 32 meri iar Ion a plantat cu 3 mai putin. Cati meri au plantat in total cei doi baieti ? '
Am realizat modelul in mai multe etape:
|
Etapa I Etapa a-II-a Etapa a-III-a |
-------
Dupa discutarea modelului, voi discuta cu elevii, la tabla, aceasta problema prin "plan de rezolvare" astfel :
1 )Cati meri a plantat Ion ?
32 - 3 =29 (meri)
2 )Cati meri au plantat cei doi copii ?
29 + 32 =61 (meri)
|
R = 61 meri. |
Voi stabili apoi schema generala:
|
Total: a + (a + b) a + (a - b) |
|
b |
-
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
|
|
|
mai mult |
|
mai putin |
Dupa aceasta schema am cerut elevilor sa compuna probleme, folosind schema in compunerea problemelor deoarece ii ajuta sa aleaga acele marimi intre care pot stabili o relatie logica in functie de intrebarea problemei si sa gaseasca solutia matematica dintre ele.
Se pot folosi scheme (sunt si in manual) iar indicarea operatiilor, in care elevii isi pot manifesta si antrena flexibilitatea gandirii, in stabilirea intrebarii problemei
|
Exemplu: |
|
|
a)
|
|
|
|
|
lei mai putin..?lei |
|
mai mult |
b)
|
ori mai putin . ? lei mai mult |
c)
|
|
d) a b c d
Cantitate
Pret
Variante posibile:
1) ( a x b ) + ( c x d )
2) ( a x b ) - ( c x d )
3) ( a x d ) : (c x d )
Schema cu indicarea operatiei si simbolului sau numere:
|
a + b - c |
a)
|
|
|
|
b)
|
a-(b+c) |
|
|
c)
Exemplu: " Patru copii recolteaza intr-o zi 920 kg de mere iar in ziua urmatoare 893 kg mere. Cu cate kg de mere a recoltat in medie mai mult un copil in prima zi decat in a doua zi?"
Folosirea schemelor stimuleaza flexibilitatea, gandire creatoare si gandirea logica a elevilor. Se educa vointa si gasirea algoritmilor pe o cale mai usoara, aparand ca joc.
6.Transformarea rezolvarii problemelor
in formula numerica sau literala si compunerea
unor probleme dupa exercitii si formule
Transformarea problemelor in exercitii reprezinta pentru elevi o activitate de creatie, de gandire, de stabilire de legaturi logice pentru a putea pune sub forma unui singur exercitiu ceea ce de fapt se realizeaza in mai multe etape, prin exercitii distincte. Daca se inlocuiesc numerele din exercitiu (datele problemei) prin litere, atunci procesul devine complet prin generalizare.
Activitatea de transformare a problemelor in exercitii si invers se poate incepe in clasa a II-a si consolidate in clasele urmatoare.
Exemplu: "Vlad are 18 (a) iepuri. Mai cumpara inca 3 (b) iepuri. Cati iepuri are Vlad in total? '
Notand cu a numarul iepurilor pe care-i avea Vlad si cu b numarul iepurilor pe care-i cumpara obtinem: a + b = c
Am solicitat elevilor sa compuna probleme dupa aceasta formula folosind alte date. Toate problemele formulate de elevi au avut un termen la care se adauga alt termen obtinandu-se o suma.
Compunerea de probleme dupa un exercitiu literal dat este o activitate complexa si dificila.
Pentru a putea ajunge la aceasta performanta gandirea, potentialul creativ trebuie educat si dezvoltat in functie de nivelul la care a ajuns, la un moment dat, gandirea elevului.
Se parcurge un drum anevoios cu multe etape de compunere a problemelor, gradate ca dificultate; de multe ori cu revenire, pentru a patrunde in labirintul necunoscutului, originalului, creativului.
Etapele patrunderii complete in activitatea de compunere de probleme pot fi gradate astfel:
1) compunerea problemelor dupa tablouri si imagini;
2) compunere de probleme dupa date numerice indicate cu tema;
a) la libera alegere: 'Sa se compuna o problema cu numerele 5, 10, 25';
b) sugerata:' Formulati textul si intrebarea problemei urmatoare: 4680 kg piersici... 15001ei/kg3 kg piersici=20 buc?
3) compuneri de probleme dupa o tema prezentata, datele numerice la libera alegere: " Sa se compuna o problema cu tema: La cumparaturi '.
4) compuneri de probleme dupa modelul unei probleme rezolvate anterior;
5) compuneri de probleme dupa scheme date:
a)
|
|
b)
32
58
6) compuneri de probleme dupa un exercitiu numeric dat
3 x 700 kg +3 x 900 kg = 700 m + 300 m - 200 m = (2588 : 4 x 3 ) - ( 2160 : 2 ) =
7) compuneri de probleme dupa un exercitiu literal dat : a) a + b = 8 a x b = 24 a - b =3 n + (n + 5) = a
n + 2n + (n - 10) = c
b) a - b =c
a + (b - c) =d
(a + b) + (c - d) = e
(a + b ) x (c - d) = e
c) a + (a + b) + c =
(d : f) + (c + g) =
(n + c) - (n + t) =
Activitatea de compunere de probleme indiferent in ce etapa se efectueaza ii solicita pe elevi la o activitate independenta de creatie, de analiza si sinteza, de confruntare a cunostintelor cu practica vietii.
27.Cai si mijloace de sporire a eficientei formative
a compunerii de probleme in clasele I- IV in
directia dezvoltarii logice a elevilor
Una dintre modalitatile principale de a dezvolta gandirea independenta si originala al copiilor, de a cultiva si dezvolta creativitatea gandirii lor este activitatea de compunere de probleme. Aceasta activitate poate fi inceputa inca din clasa I, deoarece manualele ofera posibilitati multiple in acest sens. Primele probleme compuse de elevi vor fi cele dupa tablouri si imagini pentru ca dupa aceea sa se treaca la probleme , actiune si chiar cu punere in scena. Paralele cu trecerea la activitatea propriu-zisa de rezolvare de probleme precum si dupa invatarea numerelor naturale si a operatiilor cu acestea se trece gradual la compunerea de probleme dupa modelul unei probleme rezolvate anterior. Pentru exercitiile de descompunere a unui numar se pot alcatui probleme diverse, elevii fiind solicitati sa le si rezolve. Dupa gasirea tuturor posibilitatilor de descompunere a numarului 5 : 5 = 0 + 5 5 = 4 + 1
5 = 5 + 0 5 = 3 + 2
5 = 1 + 4 5 = 2 + 3 etc.
Se da ca sarcina de lucru elevilor sa compuna fiecare cate doua probleme folosind separat perechile de numere indicate. Se pot obtine probleme de forma : 1. Intr-o cutie sunt 3 creioane. Ionel mai pune Cate creioane sunt acum in cutie ? Am primit in dar de la bunica 1 mar. Cate mere am acum daca eu mai aveam 4 mere?
Cand elevii vor rezolva un numar suficient de probleme se poate face la compunerea acestora mai intai pe baza formulelor numerice apoi literale (a + b) sau (a - b). Exemplu: Compune o problema care sa se rezolve prin operatia : 96 - 24 = Se pot obtine urmatoarele variante: 1. Eu am in pusculita 96 lei. Cati mi-au mai ramas dupa ce i-am imprumutat fratelui meu 24 lei? Pe un strat se aflau 96 de panselute.24 din ele s-au uscat. Cate panselute mai sunt acum? 3. Vasilica are 96 lei. Sora ei are cu 24 lei mai putin. Cati lei are sora Vasilicai? In elaborarea textului unei probleme se utilizeaza date si mijloace reale, mijloace si procedee de natura sa le ofere elevilor imprejurari de viata corespunzatoare. In activitatea de compunere a problemelor trebuie sa se tina seama de posibilitatile elevilor, prin sarcini gradate trecandu-se treptat de la compunerea libera la cea ingradita de anumite cerinte.Se stie ca in functie de felul cum este organizat si orientat, procesul de invatamant poate duce la dezvoltare a gandirii creatoare cum poate duce si la formarea unei gandiri rigide. In acest sens in activitatea de compunere a problemelor invatatorul va urmari ca prin indicatii clare, prin exemple sugestive, folosite ca modele, prin cerinte rationale, sa canalizeze gandirea si imaginatia copiilor spre asociatii din ce in ce mai putin intamplatoare. Pentru a antrena toti elevii in activitatea de compunere a problemelor trebuie sa-i invatam pe acestea sa aiba incredere in ei, sa le stimulam eforturile intelectuale si sa le educam calitatile moral-volitive, dezvoltandu-le interesul si sensibilitatea la situatii problematice cu continut matematic. Spre sfarsitul clasei I se trece la compunerea de probleme dupa urmatoarele formule numerale: a + b + c a - b + c a + b - c Manualele de matematica de clasa I ofera cateva exemple destul de importante in vederea cultivarii si dezvoltarii gandirii logice. Se intalnesc aici probleme cu sprijin de limbaj dar cu date lipsa precum si probleme fara intrebari. Exemple: 1. La un magazin erau .papusi. Intr-o zi s-au vandute 10 papusi, apoi 12 papusi. Cate papusi mai sunt in magazin ?
La o cantina s-au adus o data 36 l de ulei si alta data 23 l. S-au consumat 17 l. Puneti intrebarea si rezolvati problema ! Pentru prima problema au fost elevi care au completat cu un numar mai mic decat suma 10 + 12 deoarece nu au fost atenti la datele prezente in problema sau nu au sesizat relatiile dintre datele si conditia problemei. Pentru a doua problema toti elevii au gasit intrebarea " Cati litri de ulei au mai ramas?" In clasele urmatoare se pot continua exercitiile de compunere a problemelor pe baza formulei numerice. In ceea ce priveste folosirea formulei literale ca baza a compunerii problemelor se poate porni de la compunerea libera a problemei la formula literala si invers. Pornind de la problema: " Elevii clasei a-III-a au cules intr-o zi 6 lazi a cate 8 kg mere; 5 lazi a cate 7 kg pere si 4 lazi a cate 10 kg de gutui. Cate kg de fructe au cules? elevii au stabilit relatiile:
6 lazi a 8 kg.5 lazi a 7 kg.4 lazi a 10 kg
6 x 8 kg..5 x 7 kg.4 x 10 kg
(6 x 8) + (5 x 7) + (4 x 10) = 48 +35 +40 =123 kg
Apoi au transformat relatiile cu simboluri numerice in relatii cu simboluri literale, redand formula generala in care este incadrata rezolvarea problemei :
(a x b) + (c x d) +(e x f) In clasa a-III-a si la celelalte clase mai mari am compus probleme si dupa alte formule literale: (a + b) + (b x c) a + (a - b) a + (a + b) a - ( b + c) Pentru a dezvolta la elevi interesul si sensibilitatea pentru probleme, de nenumarate ori compunerea problemelor cat si rezolvarea acestora s-a realizat in situatii de joc didactic. Antrenant a fost jocul cu propozitii ordin in care pe jetoane erau scrise ordine de forma: 1. Compune o problema la care prin rezolvare sa se obtina rezultatul 40! Rezolvati exercitiul urmator si folositi-l in rezolvarea unor probleme! 43 + 5 = a
a - 6 = b
3. Compuneti o problema cu numerele 8 si 6 ! 4. Compuneti o problema in care sa se vorbeasca despre munca in agricultura ! Pentru ca jocul sa devina mai antrenant se organizeaza sub forma unei intreceri intre grupele I-III. Se observa ca experienta mai bogata in activitatea de rezolvare si compunere a problemelor a elevilor clasei a-III-a precum si vocabularul matematic mai dezvoltat a dus la formularea unor probleme mai nuantate din punct de vedere al exprimarii si cu un grad de dificultate sporit. Competitia generata de joc a contribuit nu numai la activizarea intelectuala a copiilor dar si la formularea personalitatii elevilor, la manifestarea unor conduite atitudinale pozitive fata de munca, fata de intrecere in cadrul grupului scolar. In clasa a-III-a pe langa situatiile enumerate mai sus, elevii au compus si au rezolvat probleme dupa formule numerice sau literale din ce in ce mai complicate. Iata problemele pe care le-au compus pe baza urmatoarei formule numerice:
1250 - (3 x 21 + 129 x 2 + 336) : 9 =
1."Fabrica de jucarii avea planificat sa trimita in Bucuresti 1250 jucarii. S-au trimis intr-o zi 3 pachete a 21 jucarii, a doua zi 2 pachete a 129 jucarii, iar a treia zi 336 jucarii. Restul a fost trimis in mod egal la 9 magazine din oras.
Cate jucarii a primit fiecare magazin?" "Elevii claselor I-III aveau de cules 1250 kg fructe. Clasa I a cules 3 cosuri a 21 kg fiecare, elevii clasei a-II-a au cules 2 cosuri a 129 kg ,iar clasa a-III-a 336 kg fructe. Restul a fost cules de cei 9 elevi ai clasei a-IV-a in mod egal. Cate kg de fructe de padure a cules fiecare elev?" Astfel de exercitii de compunere vor duce la cresterea mobilitatii gandirii, a capacitatilor sale divergente, creatoare, dezvoltarea calitatilor de baza (rapiditatea , operativitatea, capacitatea de control si autocontrol, calitati ale atentiei).Pentru implinirea acestor obiective am folosit o multime de forme si procedee. Voi enumera in continuare cateva : Care clasa (echipa) compune mai frumos si mai corect o problema dupa anumite cerinte: sa se rezolve o problema compusa de o echipa sau pe rand de fiecare component al echipei, de un alt grup sau fiecare component al grupului: o echipa sa formuleze continutul unei probleme iar alta intrebarea, iar rezolvarea sa se faca de ambele echipe (clase)simultan:sa se elimine dintr-un text al problemei datele de prisos. Pentru a realiza aceste sarcini este necesar ca activitatea de rezolvare si compunere a problemelor sa nu ramana doar in pozitia de activitate auxiliara ci o preocupare permanenta. In clasa a-IV-a pe langa formulele numerice sau literale extrase din calcul, am folosit mult formulele relatiei dintre viteza, distanta si timp ( D = T x V ; T = D : V ; V = D :T) precum si formulele relatiei dintre valoare, cantitate, pret : (V = C x Pr ; C = V: Pr ; Pr =V: C). In activitatea de compunere de probleme se va avea permanent in atentie imbunatatirea continua a exprimarii corecte a copiilor orala si in scris atat din punct de vedere matematic cat ti gramatical; imbogatirea vocabularului lor matematic si a vocabularului in general ; cresterea continua a vocabularului lor de cunostinte, de corelare a lor si , mai ales de transfer si folosire a acestora in practica, nuantarea exprimarii orale a copiilor in expunerea problemelor propuse, pentru a scoate in evidenta atat datele cat mai ales, relatiile dintre ele si intrebarea problemei. Compunerea de probleme in clasele I-IV poate constitui o premisa reala si eficienta pentru o viitoare munca de cercetare, pentru activitatea ulterioara de creatie (inovatie, inventie) si cu certitudine, o modalitate sigura de sporire a rolului formativ al invatamantului matematic din ciclul primar, in stransa corelatie cu celelalte discipline de invatamant.
8.Rezolvarea problemelor prin
mai multe procedee
Campul de aplicabilitate, in contextul educarii creativitatii gandirii logice elevilor este deschis intr-o masura mai mare in situatia in care problema se poate rezolva prin doua sau mai multe procedee. Rezolvand problema in doua sau mai multe moduri elevul verifica solutia problemei. El trebuie sa obtina acelasi rezultat prin toate caile de rezolvare, dandu-si seama daca solutia problemei este buna.
Acest procedeu este eficient din punct de vedere al antrenarii elevului la o activitate intelectuala independenta, creatoare prin motivatia interna a succesului; satisfactia elevului rezultand din bucuria de a fi rezolvat si apoi verificat prin alta modalitate solutia gasita.
Deci, pentru a dezvolta mobilitatea si flexibilitatea gandirii elevilor, pentru a o face mai productiva si creatoare am cerut in permanenta elevilor sa gandeasca logic toate procedeele de rezolvare a problemelor. Pentru aceasta am selectionat dintre probleme pe acelea care au mai multe variante de rezolvare. Odata gasite toate modurile de rezolvare trebuie analizate si recomandat procedeul cel mai eficient.
Formarea priceperilor de a gasi noi modalitati de rezolvare a problemelor constituie o adevarata gimnastica a mintii.
Elevii nu-si dau seama de la inceput ca o problema se poate rezolva in mai multe moduri (prin mai multe procedee).
Prin intrebari ajutatoare ii conduc pana cand acestia descopera si alte modalitati de rezolvare.
Exemplu:
" In prima zi Ramona citeste 30 de pagini dintr-o carte, a doua zi 10 pagini iar a treia zi 40 pagini.
Cate pagini citeste a patra zi daca in total cartea avea 100 de pagini?
Se vor obtine urmatoarele rezultate:
I 100-30=70 carti 70-10=6carti 60-40=20 carti in a IV-a zi
II 3 0+10+40=80 carti
100-80=20 carti in a IV-a zi.
Al doilea procedeu, bazandu-se pe folosirea modelului logico-matematic, face ca elevii sa descopere mai usor legaturile dintre datele problemei si sa se familiarizeze repede cu sensul concret al operatiilor indicate in problema.
|
|
|
O situatie favorabila dezvoltarii gandirii este atunci cand elevul reuseste sa elaboreze un model aproape diferit de cel oferit de invatatori.
|
I |
|
|
|
|
|
II |
Asezarea operatiilor de rezolvare intr-un singur exercitiu face ca rationamentul problemei sa se generalizeze in formula:
iar, treptat, dupa rezolvarea mai multor probleme care se incadreaza in acest algoritm, el poate fi exprimat intr-o formula generala:
a- (b + c + d)
Pentru a-i face pe elevi sa inteleaga distributivitatea inmultirii fata de adunare si scadere, adica inmultirea unui numar cu o suma sau diferenta, se poate pleca de la rezolvarea urmatoarei probleme:
" Un copil a cumparat 4 ascutitori a 2500 lei fiecare si 4 creioane a 1000 lei fiecare. Cat a platit el pe toate aceste rechizite? '
Problema se poate rezolva in doua moduri.
Elevii clasei a III-a , au rezolvat-o prin trei intrebari cu ajutorul urmatoarelor exercitii:
a) 4x2500 lei =10000 lei (ascutitorile)
b) 4x 1000 lei =4000 lei ( creioanele)
|
|
c) 10000 lei + 4000 lei = 14000 lei ( rechizitele) Dupa discutarea problemei am figurat-o astfel:
|
|
|
|
|
|
Am grupat cate o ascutitoare cu cate un creion. 'Cate grupe avem?'(4 grupe). 'Ce contine fiecare grupa?'(o ascutitoare si un creion).
Elevii au sesizat faptul ca mai intai putem afla costul unei ascutitori si al unui creion.
In acest fel problema se rezolva prin doua intrebari cu ajutorul urmatoarelor exercitii:
a) 2500 lei + 1000 lei =3500 lei (o ascutitoare si un creion)
b) 4x3500=14000 lei (rechizite)
Analizandu-se eficienta celor doua variante elevii si-au dat seama ca al doilea mod de rezolvare este mai eficient.
Scriind pe tabla, (in paralel) cele doua procedee de rezolvare, am explicat distributivitatea inmultirii fata de adunare:
4x2500=10000 2500+1000=3500
4x1000=4000 4x3500=14000
10000+4000=14000
4x2500+4x1 =4x(2500+1000)
10000+4000=4x3500
Elevii au sesizat singuri regula ca pentru a inmultii un numar cu o suma inmultim acel numar cu fiecare din termenii sumei, indiferent cati termeni are suma.
Sunt tipuri de probleme care desi se rezolva prin mai multe procedee, ambele procedee sunt la fel de eficiente.
Exemplu:
" Mariana are 20 ani iar lonela 16 ani. Cati ani va avea Mariana cand Ionela va avea 21 de ani?
Se poate rezolva prin doua procedee:
I a) Peste cati ani va implini Ionela 21 ani?
21-16=5 (ani)
b) Cati ani va avea Mariana cand Ionela va avea 21 ani? 20+5=25(ani)
II a) Cu cat este mai in varsta Mariana?
b) Cati ani va avea Mariana cand Ionela va avea 21 ani?
21+4=25(ani) Se solicita elevilor sa rezolve problemele prin ambele variante.
CAPITOLUL 3
ACTIVITATI REZOLUTIVE LA CICLUL PRIMAR
3.1.Modalitati de desfasurare a activitatilor rezolutive la ciclul primar
Activitatea rezolutiva ocupa un loc deosebit de important in invatarea matematicii la elevii ciclului primar. Aceasta importanta sta in exersarea schemelor de operare cu numere, realizarea legaturii dintre matematica si practica, insusirea si consolidarea noilor scheme cognitive, si mai ales in valentele formative ale rezolvarii de probleme: dezvoltarea capacitatilor rezolutive (analiza, sinteza, evaluare, transfer) a capacitatilor creative, a strategiilor cognitive si a unei atitudini pozitive fata de invatarea matematicii in general.
In rezolvarea unei probleme se parcurg etapele cunoscute ca: intelegerea problemei, analiza logica, rezolvarea propriu-zisa si activitati complementare. Etapa care ridica, in general, 'problema' este analiza logica a problemei. Pornind de la ideea lui Polya ca " profesorul trebuie sa ajute, dar nici prea mult si nici prea putin, astfel ca elevului sa-i revina o parte rationala din munca', se considera ca analiza logica trebuie sa constea intr-o suita de indrumari de orientare a gandirii ( prescurtat IOG) care au rolul de a determina pe elev (individual) ca, bazandu-se pe propriile forte, sa intocmeasca planul de rezolvare al problemei si sa-l realizeze.
Acest set de IOG (ausubel D.P.Gagne' R.M.-il numesc strategic) ajuta elevul sa elaboreze strategia de rezolvare a problemei sau strategia rezolutiva. Aceasta strategie rezolutiva se constituie din intrebarile problemei sau judecata problemei sau planul de rezolvare. Realizarea planului de rezolvare presupune efectuarea operatiilor cerute de intrebarile problemei, sau, cum i se mai spune, ,,lucrarea'. Elaborarea si realizarea de catre elev a ambelor parti ale etapei a treia, bazandu-se cel mult pe acest set IOG. Are mare importanta in planul dezvoltarii gandirii logice si intregii sale personalitati. S-a constatat ca acest mod de abordare a rezolvarii unei probleme contribuie la educatia matematica a elevului, in punctele sale esentiale.
Aceste indrumari, IOG., pot fi de tip:
- algoritmic, cu referire la strategii pe care elevul le invata pur si simplu: 'cu atat mai mult'- inseamna adunare, 'cu atat mai putin'- inseamna scadere etc.
semialgoritmic, cu referire la anumite strategii legate de tipul problemei pe care, de asemenea, el si le insuseste fie prin proprie descoperire, fie cu sprijinul institutorului. De pilda insusirea strategiei de formare a partilor egale intr-o problema tip metoda figurativa, cand se cunoaste suma si diferenta a doua marimi etc.
- euristic, care nu sunt legate strict de problema in cauza si sunt valabile in multe alte probleme. Exemplu: 'Am mai intalnit o problema asemanatoare?', 'Cum am procedat atunci?', ,,Ce putem afla mai intai din datele problemei?', 'Ce n-am utilizat din datele problemei, conditiile ei?' etc.
- metacognitiv, indrumari de dirijare a gandirii care contin si instructuni de control, de orientare in sarcina etc. Exemplu: ,,Sa ne reprezentam corect datele problemei', 'Sa introducem notatii', etc.; sau 'Sa controlam ceea ce am anticipat, intuit' etc. Toate la un loc fac parte din categoria strategiilor 'cognitive a caror formare la elevi este unul din obiectivele-cadru ale predarii-invatarii matematicii.
Din acest punct de vedere IOG urmeaza fie calea analitica, fie pe cea sintetica si,
de cele mai multe ori, reflecta o combinare a celor doua cai etc.
In urmatoarele trei exemple, prezentate in acest paragraf, este exemplificat atat calea analitica si pe cea sintetica, precum si utilizarea IOG in etapa analizei logice.
Metoda analitica reprezinta calea de abordare a problemei plecand de la cerinta spre date (ipoteza).
Metoda sintetica reprezinta calea de abordare a problemei plecand de la date spre cerinta (concluzie).
Avantajul metodei analitice consta in aceea ca elevii, punandu-si mereu intrebari pornind de la intrebarea problemei, nu se pot abate de la firul logic al rezolvarii, ci cel mult pot sa se opreasca la ,,de ce'- ul care-i incita la cautare, dupa fiecare pas al analizei.
Intr-o examinare prin ,,metoda sintetica', apar pe parcurs probleme, intrebari simple dar care pot abate gandirea rezolvatorului de la firul logic al problemei. In acest caz el trebuie sa revina f i sa intrebe ,,daca e necesar sa aflam cutare lucru' etc.
In problema rezolvata (1) sunt exemplificate ambele cai, iar in exemplul (2) este o problema analitico-sintetica de rezolvare a problemelor.
O lista de intrebari legate de procedee euristice utile in rezolvarea problemelor si pe baza carora se pot extrage si adapta la nivelul ciclului primar seturi IOG, este expusa in lucrarea (3).
# Etapa de analiza logica este precedata de o etapa denumita ,,citirea si intelegerea problemei' care consta intr-o serie de operatiuni indreptate spre intelegerea datelor, conditiilor si cerintelor problemei. De multe ori analiza logica incepe in aceasta etapa cu reprezentarea datelor prin desen, a conditiilor etc. prin emitere de catre elevi a unor ipoteze rezolutive.
# Activitatea rezolutiva se incheie cu o etapa nu mai putin importanta, si anume etapa activitatilor complementare. Importanta acestei etape sta in realizarea retentiei unei noi strategii, scheme de operare etc. si mai ales, a transferului de strategic spre o problema asemanatoare, propusa spre rezolvare, sau in compunerea unei probleme inrudite cu cea rezolvata.
Cautarea unei strategii rezolutive, punerea rezolvarii sub forma unui exercitiu etc. sunt activitati care vin sa intareasca rolul formativ al problemei in cauza.
In locul unei tipologii a IOG prezint mai multe exemple concrete de activitati rezolutive desfasurate si verificate la clasele I-IV, urmarind in fiecare caz cele patru etape mentionate si precizand IOG din etapele I-II.
Fiecare institutor ajunge sa-si dea seama care sunt cele mai potrivite seturi IOG necesare si suficiente sa produca invatarea la elevi.
Sa urmarim exemplele de care am amintit mai sus.
3.Exemple de activitati rezolutive
Exemplul 1
Enunt: O ferma a recoltat dintr-o gradina 520 kg pepeni, iar din a doua gradina cu 160 kg mai putin decat in prima. O parte din pepeni ferma ii vinde cu 175 lei kg obtinand suma de 38500 lei. O treime din pepenii ramasi ii impart celor 110 familii de lucratori ai fermei, in mod egal. Cate kilograme de pepeni revin fiecarei familii?
Clasa: a IV-a
Tema: Aplicatii diverse cu cele 4 operatii.
Obiective operationale:
01-Sa efectueze corect operatiile ce intervin in rezolvare;
02-Sa compuna o alta problema dupa schema operatorie (exercitiul) a rezolvarii problemei date.
|
Strategia invatatorului |
Strategia elevului |
|
|
-indrumari de tip metacognitiv |
- ipoteze emise de elev - strategii (invatate, formate, elaborate) de elev - operatii efectuate de elev |
III. Rezolvarea problemei - intocmirea planului de rezolvare (intrebarile problemei) realizarea planului (scheme operatorii) |
|
I. Citirea si intelegerea problemei - se citeste problema de catre institutor - se dau lamuriri asupra textului - se reprezinta figura, datele problemei |
- elevii repeta frontal problema si apoi individual si independent. - elevii formuleaza intrebari relativ la text. - elevii reprezinta grafic (daca este cazul) datele |
1 .Cati pepeni s-au recoltat din a doua gradina? Cati pepeni s-au recoltat in total? 3.Cati pepeni s-au vandut? |
|
II. Analiza logica a problemei Metoda analitica (A) 1 .Ce ne cere problema? Putem afla dintr-o data cerinta problemei?(de ce nu / da?) |
-elevii repeta (reformuleaza) cerinta problemei :cati pepeni revin fiecarei familii? - elevii deduc ca trebuie sa afle cati pepeni s-au impartit |
4. Cati pepeni au mai ramas? 5. Cati pepeni s-au distribuit lucratorilor? |
|
3.Ce ar trebui sa cunoastem pentru a afla cerinta? Se reiau IOG 2-3 Se reiau IOG 2-3 Se reiau IOG 2-3 Cu acest ultim pas exami- narea analitica se incheie |
elevii deduc ca trebuie sa afle cati pepeni au ramas. - elevii deduc ca trebuie sa afle cati pepeni s-au vandut. - elevii deduc ca trebuie sa afle cati pepeni s-au adunat de pe ambele gradini |
6. Cati pepeni revin fiecarei familii? 220:110=2(q) |
|
Metoda sintetica (S) 1 .Ce putem afla mai intai din datele problemei? Ce mai putem afla din ce stim pana acum? 3.Ce n-am utilizat din problema? Ce putem deduce de aici? 4.Se reiau IOG2-3. Ce ne cere problema? etc. |
- elevii calculeaza cati pepeni s-au obtinut din a doua gradina. - elevii afla cati pepeni s-au adunat in total - elevii reamintesc ca s-au incasat 38500 lei pe pepenii vanduti, deci calculeaza cati pepeni s-au vandut - elevii calculeaza cantitatea de pepeni ramasa - elevii calculeaza cati pepeni s-au impartit lucratorilor etc. |
1. Cati pepeni s-au recoltat din a doua gradina? Cati pepeni s-au recoltat in total? 3 .Cati pepeni s-au vandut? 4- Cati pepeni au mai ramas? 5. Cati pepeni s-au distribuit lucratorilor? 6.Cati pepeni revin fiecarei familii? 220:110=2(q) |
|
IV. Activitati complementare - verificarea solutiei; - scrierea sub forma de exercitiu a rezolvarii problemei; - compunere de probleme dupa exercitiul respectiv; - cautarea unei alte solutii etc; - rezolvarea de probleme inrudite cu cea rezolvata. |
- elevii verifica rezultatul obtinut pe schema:
|
|
|
-elevii scriu rezolvarea problemei printr-o expresie aritmetica: : 110 |
||
Exemplul. 2
Enunt: Aflati doua numere care sa respecte urmatoarele cerinte:
Daca la primul numar se adauga 72, suma obtinuta va fi de 3 ori mai mare decat primul numar.
Clasa: a III-a
Tema: Operatii cu numere naturale aplicatii;
Obiective operationale :- Sa afle niste valori printr-o schema operatorie
cunoscuta, ajungand la o suma de parti egale data.
|
Strategia invatatorului |
Strategia elevului |
|
|
I. Citirea si intelegerea problemei - sa reprezinte datele si conditiile dintre ele; II. Analiza logica a problemei Am mai intalnit asemenea situatii. Cum am procedat atunci? Sa incercam sa obtinem parti egale a caror suma o cunoastem. Ce ne spune figura? IV Activitati complementare - scriem sub forma de exercitiu; - probleme inrudite. |
- elevii reprezinta segmentul:
- sa cautam sa formulam parti egale - elevii observa ca 72+184=a+a(doua parti de a ;sau doi de a fac 72+84,deci elevii calculeaza a=) |
III Rezolvarea problemei 1) Aflam cat este a: 2) Aflam cat este al II-lea numar: 128+72=200 |
Exemplul 3
Enunt: Pe un raft sunt 50 de carti. Un elev ia din ele un numar de carti egal cu cel mai mare numar par de o cifra. Cate carti raman pe raft? Clasa: a II-a
Tema: Operatii cu numere naturale de la 0 la 100 cu trecere peste ordin Obiective operationale:
01- sa aminteasca notiunea de ,,numar par' (cel mai mare numar par de o cifra);
02- sa transpuna in operatie matematica expresia din limbajul ,,a lua'; O3 - sa verifice corectitudinea solutiei obtinute
|
Strategia invatatorului |
Strategia elevului |
|
|
- etapele rezolvarii problemei - indrumari cu caracter de strategii cognitive - instructiuni de indrumare si control |
- operatii pe care le efectueaza - ipoteze(conjecturi) emise - strategii rezolutive |
III Rezolvarea problemei - intocmirea planului de rezolvare - realizarea planului - verificari |
|
I. Intelegerea problemei Ce cunoastem din problema? Sa scriem (schematic) datele problemei! II Analiza logica a problemei Am mai intalnit o problema asemanatoare? Ce spune a doua parte a problemei? Sa formulam problema! Putem rezolva problema acum? In ce mod? IV. Activitati complementare - Putem folosi concluzia sau metoda de rezolvare la o alta problema? - Dati exemple! |
reda datele problemei - repeta cerinta problemei - reformuleaza problema Pe un raft sunt 50 de carti. Un elev ia 8 carti. Cate carti raman pe raft? transpunere in limbaj matematic expresia ,,a lua' - efectueaza operatia - afla rezultatul scaderii - verifica solutia gasita. |
1 .Scriem care este cel mai mare numar par de o cifra:8 Scriem operatia corespunzatoare cuvantului ,,ia': 3. Aflam rezultatul operatiei: 4.Verificare: |
Exemplul 4
Enunt: Un dreptunghi are una din laturi egala cu sfertul celeilalte. Daca latura mare
este egala cu 20 cm., aflati perimetrul dreptunghiului
Clasa: a III-a
Tema Forme plane
Obiective operationale Sa calculeze perimetrul unui dreptunghi.
|
Strategia invatatorului |
Strategia elevului |
|
|
l. Citirea si intelegerea problemei; - sa reprezinte datele problemei: Ce stim din problema? Ce ne cere problema? |
- elevii deseneaza un
L |
1) afla l 2) afla P |
|
II. Analiza logica Ce putem deduce din datele problemei? Ce ne cere problema? Ce stim despre aflarea perimetrului unui dreptunghi? |
- elevul reaminteste, reactualizeaza; - aduna de 2 ori L cu de 2ori l - elevul calculeaza latimea dreptunghiului; - elevul calculeaza P dreptunghiului in doua moduri: 2 1+2L=1+L+1+L= | |
Exemplul 5
Enunt In parc sunt 5 baieti si cu 4 mai multe fete. Cate fete sunt in parc?
Clasa : I
Tema: Adunarea numerelor naturale in concentrul 0-10
Obiective operationale: - Sa transpuna in operatie matematica expresia din limbajul natural "cu atat mai multe".
Descrierea strategiei: - inductiv - euristica, semidirijata frontal in directia formarii capacitatii de a exprima in limbaj matematic expresia "cu atat mai multe", utila in rezolvarea unei probleme simple.
|
Strategia invatatorului |
Strategia elevului |
|
|
- indrumari cu caracter de strategii cognitive - instructiuni de indrumare si control. |
- operatii pe care le efectueaza - ipoteze emise - strategii rezolutive |
III.Rezolvarea problemei - intocmirea planului de rezolvare - realizarea planului - verificari |
|
I. Intelegerea problemei Sa reprezinte prin desen datele problemei. Ce intelegem prin ,,cu atat mai multe'? II. Analiza logica a problemei Cati baieti sunt in parc? Ce stim despre numarul fetelor? Ce putem deduce din aceste date? IV. Activitati complementare Putem verifica daca solutionarea este corecta? Sa ne imaginam o problema asemanatoare cu cea pe care am rezolvat-o. |
- e. asculta problema, o repeta - e. deseneaza multimea baietilor - e. decodifica textul: efectuam o operatie de adunare - e. construieste doua multimi (fete si baieti), avand acelasi numar de elemente (patru) - e. construiesc alaturi inca o multime de 4 elemente
- e. transpune in operatie matematica expresia ,,cu 4 mai multe ,,pe baza diagramei: 5 + 4 = 9 - e. verifica corectitudinea solutiei gasite efectuand proba: 9 - 4 = 5 - e. compune o problema asemanatoare cu cea rezolvata |
|
Exemplul 6
Enunt: Intr-un cos sunt 10 mere. In fiecare zi, Ionel ia din cos cate doua mere. Dupa cate zile, in cos, mai raman 4 mere?
Clasa :I
Tema :Scaderea numerelor naturale in concentrul 0-10
Obiective operational: Ol - Sa utilizeze operatia de scadere in probleme;
O2-Sa scrie rezolvarea printr-un exercitiu.
Descrierea strategiei: -inductiv-euristica, semidirijata frontal in directia formarii unei strategii de rezolvare a unei probleme compuse
|
Strategia invatatorului |
Strategia elevului |
|
|
- etapele rezolvarii problemei - indrumari cu caracter de strategii cognitive - instructiuni de indrumare |
- operatiile pe care le efectueaza - ipoteze (conjecturi)emise - strategii rezolutive |
III. Rezolvarea problemei. - intocmirea planului de rezolvare - realizarea planului - verificari |
|
I. Intelegerea problemei Se citeste problema. Se dau lamuriri asupra textului II. Analiza logica a problemei Sa rezolvam problema cu ajutorul betisoarelor. - Ce putem afla intai? Sa reprezentam prin desen operatiile efectuate in vederea gasirii solutiei. Sa scriem operatiile prin care am aflat raspunsul. IV. Activitati complementare Sa scriem rezolvarea printr-un exercitiu. Mai propuneti o problema asemanatoare. |
- elevii asculta problema, apoi o repeta; - pe catedra se afla 10 mere; - un elev lucreaza in fata clasei; - elevii numara doua betisoare: - elevii iau cate 2 betisoare din cele 10 pana raman 4 (elevii din fata clasei lucreaza o data cu elevii din clasa); - elevii numara de cate ori 1-a scazut pe 2 din 10; - elevii deduc ca numarul scaderilor repetate efectuate reprezinta numarul de zile dupa care in cos mai raman 4 mere; - elevii redau rezolvarea problemei printr-un desen (fiecare mar este notat cu X) si scriu operatiile prin care a aflat raspunsul la intrebarea problemei).
- elevii scriu rezolvarea printr-un singur exercitiu: 10-2-2-2=4 mere |
|
Exemplul 7.
Enunt: Daca as cumpara 6 flori, as avea 9.Cate flori am?
Clasa: I
Tema: Adunarea si scaderea numerelor naturale in concentrul 0-10.
Obiective operationale: - Sa transpuna in operatie matematica o problema simpla de aflare a termenului necunoscut.
Descrierea strategiei -inductiv-euristica, semidirijata frontal in directia formarii capacitatii de a rezolva probleme cu ajutorul ex. cu termen necunoscut.
|
Strategia invatatorului Strategia elevului |
Strategia elevului |
|
|
- etapele rezolvarii problemei - indrumari cu caracter de strategii cognitive - instructiuni de indrumare |
- operatiile pe care le efectueaza - ipoteze(conjecturi)emise - strategii rezolutive |
III. Rezolvarea problemei. - intocmirea planului de rezolvare - realizarea planului - verificari |
|
I. Intelegerea problemei Ce inseamna la matematica ,,daca as mai cumpara'? II. Analiza logica a problemei Cate caiete vreau sa am? Sa reprezentam prin desen datele problemei. Ce putem deduce privind multimile desenate? IV. Activitati complementare Puteti verifica daca solutia gasita este corecta? Imaginati-va o problema asemanatoare! |
- elevul asculta problema, o repeta; - elevul decodifica: 'asi cumpara' inseamna operatie de adunare; - elevul construieste o multime cu 9 elemente;
- elevul construieste o submultime cu 6 elemente - elevul determina complementara multimii (dependenta); - elevul transpune in operatie matematica problema:
- elevul inlocuieste cu solutia aflata si verifica corectitudinea ei efectuand proba: 3+6=9 9-6=3 - elevul compune o problema asemanatoare(pastreaza datele, schimba continutul, schimba si datele si continutul) |
|
CAPITOLUL 4
ACTIVITATE METODICA SI DE CERCETARE
4.1.Proiect de cercetare:
Rezolvarea problemelor compuse
a) Ipoteza de cercetare
In acest proiect de cercetare am pornit de la constatarea valabila conform careia cu ajutorul gandirii logice se pot rezolva probleme compuse, (oferind elevilor posibilitatea de a demonstra nivelul de stapanire a cunostintelor).
Metoda de evaluare pe care am folosit-o este o metoda traditionala si anume proba scrisa.
Scopul cercetarii este punerea in valoare in activitatea de invatare a gandirii logice si pentru aceasta am folosit proba scrisa de rezolvare a problemelor compuse sub forma unui joc didactic.
b) Esantionul
Pentru realizarea scopului propus am intreprins o cercetare experimentala la clasa a I-a, pe un colectiv de 18 elevi (10 fete si 8 baieti).
c) Probele aplicate
Cercetarea experimentala a constat in rezolvarea a doua probleme ( din cap. X) pe o fisa individuala si s-a folosit a doua fisa de munca individuala pentru fiecare elev pentru rezolvarea acestor probleme, discutandu-se una dintre fise, sub forma de joc didactic.
Elevii s-au impartit in doua grupe, fiecare lucrand individual la fisa nr . l .
Scopul jocului: - dezvoltarea gandirii logice;
- formarea deprinderii de calcul;
- schematizarea problemei;
- stimularea spiritului competitiv;
Material didactic:
1)- fise de lucru;
2)- plansa cu un tabel in care se noteaza calificativele obtinute pentru fiecare elev sub forma de figuri geometrice;
3)-jetoane sub forma de figuri geometrice ce reprezinta:
- patrat pentru calificativul Suficient;
cerc pentru calificativul Bine',
triunghi pentru calificativul Foarte bine.
Timp de lucru: 45 de minute.
Regula jocului: Fiecare elev din cele doua grupe are o fisa de lucru.
Problemele rezolvandu-se de prima grupa - o problema la tabla si a doua grupa - a doua problema pentru verificare.
Fisa n.r 1
1 .Ion a cumparat 3 kg. De cartofi iar Ana a cumparat cu 2 mai putin. Cate kilograme au cumparat in total cei doi copii?
Intr-o zi lonela a citit 10 pagini dintr-o carte, in a doua a citit cu 9 mai mult iar in a treia a citit cat cele 2 zile la un loc. Cate pagini i-au mai ramas de citit stiind ca, in total cartea are 90 de pagini?
Fisa nr.2
1 .Intr-o lada sunt 25 mere iar in alta cu 10 mai multe. Cate mere sunt in lada?
|
mai multe |
4.Proiect de lectie
Data:
Clasa: I
Aria curriculara: Matematica si stiintele naturii
Disciplina: Matematica
Subiectul: Adunarea numerelor naturale in concentrul 0 - 4
OBIECTIVE DE REFERINTA:
R1: Sa inteleaga semnificatia operatiilor aritmetice: adunare;
R2: Sa rezolve si sa compuna probleme simple folosind operatia de adunare;
R3: Sa manifeste spirit competitiv si de cooperare la lectia de matematica.
OBIECTIVE OPERATIONALE:
O1 : Sa identifice cifrele de la 0 la 4, scrise izolat si sa asocieze simbolul grafic cu denumirea acestuia; O2: Sa copieze / transcrie / scrie dupa dictare numerele de la 0 la 4 respectand cu precizie forma cifrelor ; O3: Sa stabileasca rapid succesorul si predecesorul numerelor 0 - 4 ; O4: Sa ordoneze crescator si descrescator numerele 0 - 4 ; O5: Sa efectueze adunari in concentrul 0 - 4.
STRATEGIA DIDACTICA:
a) Metode si procedee: Exercitiul, observatia, explicatia, conversatia, problematizarea si munca independenta.
b) Mijloace de invatamant : jetoane, planse cu desene, betisoare, numaratori.
c)Tipuri de invatare: - prin repetare, prin exersare, prin descoperire.
d).Forme de organizare frontala, individuala
|
Etapele lectiei |
Ob oper |
Strategia invatatorului |
Strategia elevului |
Evaluare |
|||||
|
1.Moment organizatoric |
Voi asigura conditiile necesare bunei desfasurari a activitatii. |
Elevii isi pregatesc caietele si cartile pentru lectie. | |||||||
|
Captarea atentiei |
Le voi cere elevilor sa fie atenti si sa participe activ la ora deoarece se va face o evaluare a cunostintelor insusite de ei la matematica. |
Asculta cu atentie. | |||||||
|
3.Anuntarea subiectului temei |
Le voi comunica elevilor ca in aceasta ora vom recapitula numerele naturale 0 - 4 studiate si vom efectua adunari in concentrul 0 - 4 | ||||||||
|
4.Dirijarea invatarii |
O3 |
3 Asezati in ordine crescatoare /descrescatoare numerele 4; 2; 1; 3; 0. Reactualizarea se va face folosind poeziile-ghicitori studiate odata cu numerele. Se va lucra apoi pe echipe. Fiecare echipa va primi o fisa cu exercitii si vor avea ca sarcina sa |
Se va spune o poezie pentru o cifra anume. Un elev va gasi cifra respectiva iar altul vecinii acesteia. La fel se va proceda cu toate numerele Elevii vor asculta indicatiile invatatoarei apoi trecand fisele de la | ||||||
|
completeze cu cifra corespunzatoare ; sa deseneze atatea bilute cate arata cifra ;sa descompuna |
unu la altul vor realiza ceea ce li s-a cerut. Corecteaza eventualele greseli. | ||||||||
|
5.Obtinerea performantei |
Le voi prezenta o plansa cu o problema ilustrata si le voi cere formuleze continutul acesteia si intrebarea. Se face analiza si sinteza problemei si se ajunge la operatia de adunare. Ce intelegem prin adunare? Se vor scrie adunari pe tabla si pe caiete. Ex: 4 + 0 = 3 + 0 = 2 + 2 = 0 + 1 = 0 + 0 = 3 + 1 = etc. |
Privesc plansa si formuleaza problema cu ajutorul invatatorului. Vor scrie exemple de adunare in concentrul 0 - 4 la tabla si pe caiete. | |||||||
|
6.Asigurarea conexiunii inverse |
Se vor spune elevilor doua probleme-ghicitori: "Gainusa are pui, Unul negru, doi galbui. Ia, ganditi, putin si voi Si raspundeti : Cati sunt ei?" 1 + 2 = 3 ( trei ) "Am doi nasturi si inca doi, Nu i-am rupt, ii am ca noi Albi, frumosi stau toti de-a latul Adunati si voi! Sunt 2 + 2 = 4 ( patru ) Se deschid manualele la pag. 41 si se rezolva sau se |
Vor asculta cu atentie ghicitorile problema si vor efectua la tabla si pe caiete operatiile corespunzatoare. Din manual elevii compun probleme si apoi le rezolva prin | |||||||
|
compun probleme in limita timpului disponibil. |
operatii de adunare. | |||||||||
|
7.Aprecieri si asigurarea procesului de retentie |
Se fac aprecieri asupra participarii. Voi da tema pentru acasa si indicatiile necesare. |
Asculta aprecierile. Elevii isi noteaza tema si asculta indicatiile primite. | ||||||||
Proiect de lectie
Data
Clasa: a III-a
Disciplina: Matematica
Subiectul: Exercitii si probleme
Tipul lectiei: formare de priceperi si deprinderi
Obiective de referinta
R1- consolidarea deprinderii de a folosi operatiile invatate: adunarea, scaderea, inmultirea, impartirea in rezolvarea de exercitii si probleme;
R2- consolidarea deprinderii de a rezolva corect exercitii cu paranteze, respectand ordinea efectuarii operatiilor;
R3- dezvoltarea limbajului matematic si a gandirii logice.
Obiective operationale:
O1 -sa rezolve corect exercitiile de calcul mintal;
O2 -sa efectueze corect exercitiile cu cele patru operatii;
O3 -sa elaboreze planul logic de rezolvare a problemelor, efectuand operatiile corespunzatoare;
O4 -sa foloseasca corect algoritmul de rezolvare a exercitiilor si a problemelor propuse;
O5 -sa compuna probleme dupa exercitiile date;
O6 -sa rezolve corect impartirea unei sume la un numar de o cifra, efectuand ambele moduri;
O7 -sa foloseasca limbajul matematic adecvat.
Strategii didactice
a). Metode si procedee conversatia, explicatia, exercitiul, demonstratia, problematizarea
b).Mijloace de invatamant tablou, manualul
c).Tipuri de invatare receptiv-reproductiva, receptare, exersare
d).Forme de organizare frontala, individuala
DEMERSUL DIDACTIC
|
Etapele lectiei |
Ob oper |
Strategia invatatorului |
Strategia elevului |
Evaluare |
|
1.Moment organizatoric |
Voi asigura conditiile optime pentru buna desfasurare a lectiei. | |||
|
Reactualizarea cunostintelor |
O1 O2 |
Voi verifica tema cantitativ si calitativ frontal, facand observatiile necesare. Propun spre rezolvare exercitii de calcul mintal: 6 x 7= 92 : 9= Aflati suma numerelor: 37 si 10; 75 si 13; Aflati diferenta numerelor: 80 si 40; 65 si 45; |
Elevii vor rezolva oral exercitiile propuse. |
Observare curenta |
|
O7 |
Aflati produsul numerelor: 9 si 3; 4 si 7; Aflati catul numerelor: 56 si 7; 48 si 8; Aflati dublul numerelor: 9;7;5; Aflati triplul numerelor: 4;6;8; Aflati jumatatea numerelor: 20;28;60; Aflati sfertul numerelor: 16;32;48; |
Elevii vor rezolva oral exercitiile propuse. |
Evaluare curenta |
|
|
3.Anuntarea subiectului temei |
Astazi la ora de matematica vom rezolva exercitii si probleme cu cele patru operatii invatate. | |||
|
4.Dirijarea invatarii |
O2 |
Voi scrie pe tabla data si titlul lectiei "Exercitii si probleme". Voi numi elevi sa iasa la tabla sa rezolve exercitiile propuse: a)impartirea cu rest (proba) 20 : 8= 83 : 5= 66 : 2= b)ordinea efectuarii operatiilor 35+42-61= 72 :9 x 10= |
Elevii vor iesi la tabla si vor rezolva exercitiile propuse. Vor motiva efectuarea operatiilor respectand ordinea invatata |
Observare curenta |
|
O4 O6 O3 O5 |
9 x 4 : 6 = 23+42 :6-4 x 7= c)folosirea parantezelor rotunde 27-27 :3 x (1+45:5:9)-9= d)impartirea unei sume la un numar de o cifra (18+24):6= (54+36):9= e)rezolvarea problemei 6 de la pagina 51 La aniversarea zilei de nastere, Ioana a invitat 27 de prieteni. Cate mese au ocupat invitatii, stiind ca la o masa pot lua loc 4 persoane? f)compunere de probleme -exercitiul 8 pagina 50 |
Elevii vor nota datele si intrebarea problemei, o vor rezolva oral si in scris Se va nota pe tabla problema cea mai reusita si se va rezolva. |
Evaluare curenta. |
|
|
5.Aprecieri si asigurarea procesului de retentie |
Voi face aprecieri generale si individuale. Voi da tema acasa: exercitiile 1,2,3 si 4 de la pagina 53 |
Aprecieri verbale. |
Proiect de lectie
Data:
Clasa: a IV-a
Aria curriculara: Matematica
Disciplina: Matematica
Subiectul: Probleme care pot fi rezolvate prin metoda grafica (figurativa)
Tipul lectiei: Lectie de consolidare de priceperi si deprinderi.
Obiective de referinta:
- sa inteleaga semnificatia operatiilor aritmetice: adunarea, scaderea, inmultirea si impartirea numerelor naturale in concentrul 0-1000
- sa aplice in calcul, intelegand semnificatia lor, relatiile matematice ,,cu atat mai mic decat';
- sa rezolve si sa compuna probleme;
- sa manifeste interes pentru analiza si rezolvarea unei probleme practice;
- sa-si dezvolte gandirea logica, memoria si atentia.
Obiective operationale:
Ol: Sa rezolve oral exercitii in care intervin cele patru operatii aritmetice.
O2: Sa formuleze probleme simple dupa scheme grafice date si apoi sa le rezolve.
O3: Sa rezolve probleme utilizand metoda grafica.
O4: Sa compuna probleme dupa o schema grafica data.
STRATEGIA DIDACTICA
a) Metode si procedee: Conversatia, exercitiul, problematizarea si munca independenta.
b) Material didactic: Plansa pentru calculul mintal, manualul, culegere de exercitii si probleme pentru clasele I-IV.
c).Tipuri de invatare receptiv-reproductiva, receptare, exersare
d).Forme de organizare frontala, individuala
DEMERSUL DIDACTIC
|
Etapele lectiei |
Ob oper |
Strategia invatatorului |
Strategia elevului |
Evaluare |
|
1 . Moment organizatoric |
Voi asigura conditiile necesare bunei desfasurari a activitatii |
Elevii isi pregatesc caietele si cartile pentru lectie. | ||
|
Reactualizarea cunostintelor anterioare |
O1 |
Voi verifica tema frontal si selectiv. Propun spre rezolvare: Sa se efectueze: l.(325+37):2= (271+16)x2= |
Elevii prezinta caietele cu tema si raspund la intrebari .Elevii scriu pe caiete si rezolva cele doua exercitii |
Aprecieri verbale Evaluare continua asupra operatiilor. |
|
3.Anuntarea subiectului si a obiectivelor operationale. |
Anunt subiectul: "Rezolvarea problemelor prin metoda grafica". Prezint cateva obiective operationale. Scriu titlul pe tabla. |
Elevii scriu titlul in caietele lor | ||
|
4.Consolidarea priceperilor si deprinderilor |
O3 |
Propun spre rezolvare: a)Un numar este de 3 ori mai mare decat altul. Diferenta dintre ele este 1500. |
Elevii repeta problema si raspund .Elevii deseneaza segmentele pe caiete. |
Aprobari / dezaprobari Aprecieri verbale. |
|
O2 |
Sa se afle numerele.
b) Suma a 3 numere este 397.Primul numar este cu 15 mai mic decat al treilea, iar al doilea cu 7 mai mare decat primul. Care sunt cele 3 numere?
|
Elevii figureaza datele si calculeaza: 1500 : 2 - 750 (al-II-le numar) (primul numar) sau 750 x 3 = 2250 (primul numar) (suma segmentelor egale) 375 : 3 = 125( I nr.) 125 + 7 = 135(al -II -nr.) 125 + 15 = 140(al- III- nr.) |
Aprecieri asupra modului de intelegere a schemei grafice Aprecieri asupra algoritmului de rezolvare a problemei |
|||||||||
|
5.Obtinerea performantei |
O4 |
Desenez schema si formulez cerinta: Compuneti o problema dupa urmatoarea schema si rezolvati
|
Elevii isi noteaza schema si formuleaza texte pentru problema: Tata, fiul si fiica au impreuna 60 de ani. Stiind ca fiul are de 3 ori varsta surorii sale, iar varsta mamei este dublul sumei varstelor |
Aprecieri asupra compunerii problemei |
|
copiilor, sa se afle varsta fiecaruia. lp+3p+8p=60ani 12p=60ani lp=60:12 lp=5 Fiica: 5 ani Fiul: 5x3=15 ani Tata: 5x8=40 ani |
Evaluare individuala asupra rezolvarii problemei |
|||
|
6.Evaluarea cunostintelor |
O4 |
Impart fise de evaluare. Sa se compuna o problema dupa urmatoarea schema: P
|
Elevii primesc fise si rezolva: Tatal are 36 de ani si fiul sau are 16ani. Cu cati ani in urma varsta tatalui era de 6 ori mai mare? 6p-lp=20 ani 5p=20 ani lp=20:5 lp=4ani F : avea 4 ani, iar T : 4x6=24 ani Atunci 36-24=12ani. |
Evaluare orala asupra modului de lucru. Aprecieri asupra desfasurari lectiei. |
|
7. Asigurarea procesului de retentie |
Voi da tema pentru acasa si indicatiile necesare. |
Elevii isi noteaza tema si asculta indicatiile primite |
Proiect de lectie
Data:
Clasa: a IV-a
Aria curriculara: Matematica
Disciplina Matematica
Subiectul: Probleme care pot fi rezolvate prin metoda grafica (figurativa)
Tipul lectiei: Lectie de consolidare de priceperi si deprinderi.
Obiective de referinta:
- sa inteleaga semnificatia operatiilor aritmetice: adunarea, scaderea, inmultirea si impartirea numerelor naturale in concentrul 0-1000
- sa aplice in calcul, intelegand semnificatia lor, relatiile matematice ,,cu atat mai mic decat';
- sa rezolve si sa compuna probleme;
- sa manifeste interes pentru analiza si rezolvarea unei probleme practice;
- sa-si dezvolte gandirea logica, memoria si atentia.
Obiective operationale:
Ol: Sa rezolve oral exercitii in care intervin cele patru operatii aritmetice.
O2: Sa formuleze probleme simple dupa scheme grafice date si apoi sa le rezolve.
O3: Sa rezolve probleme utilizand metoda grafica.
O4: Sa compuna probleme dupa o schema grafica data.
STRATEGIA DIDACTICA
a) Metode si procedee: Conversatia, exercitiul, problematizarea si munca independenta.
b) Material didactic: Plansa pentru calculul mintal, manualul, culegere de exercitii si probleme pentru clasele I-IV.
c).Tipuri de invatare receptiv-reproductiva, receptare, exersare
d).Forme de organizare frontala, individuala
DEMERSUL DIDACTIC
|
Etapele lectiei |
Ob oper |
Strategia invatatorului |
Strategia elevului |
Evaluare |
|
1 . Moment organizatoric |
Voi asigura conditiile necesare bunei desfasurari a activitatii. |
Elevii isi pregatesc cartile si caietele pentru lectie. | ||
|
Reactualizarea cunostintelor anterioare |
O1 |
Voi verifica tema frontal si selective. Propun spre rezolvare: Sa se efectueze: l.(171+25):2= (125+13x4-53)= |
Elevii prezinta caietele cu tema si raspund la intrebari. Elevii scriu pe caiete si rezolva cele doua exercitii. |
Aprecieri verbale Evaluare continua asupra operatiilor. |
|
3.Anuntarea subiectului si a obiectivelor operationale |
Anunt subiectul: "Rezolvarea problemelor prin metoda grafica". Prezint cateva obiective operationale. Scriu titlul pe tabla. |
Elevii scriu titlul in caietele lor. | ||
|
4.Consolidarea priceperilor si deprinderilor |
O1 |
Propun spre rezolvare: Rezolvati oral: |
Aprobari / dezaprobari |
|
O1 |
?x6=180 Ionel si dana au acelasi numar de mere. Ionel mananca trei mere. Cine are mai multe mere si cu cate? 3.Doi elevi rezolva impreuna 24 de probleme. Cate probleme rezolva fiecare daca primul rezolva cu 6 probleme mai mult decat al doilea? |
Elevii raspund la intrebari si efectueaza calculele corespunzatoare. 30x6=180 Elevii repeta problema si raspund. Elevii deseneaza segmentele pe caiete. Elevii repeta problema si scriu datele in caiete. |
Aprecieri verbale. Aprecieri asupra modului de intelegere a schemei grafice. Aprecieri asupra algoritmului De rezolvare a problemei. |
|
|
5.Obtinerea performantei |
O4 |
Desenati schema problemei. Intr-un magazin sunt 225kg de zahar si sare. Stiind ca sunt cu 25 kg de sare mai mult, sa se afle cate kilograme sunt din fiecare sortiment. |
Elevii deseneaza schema si rezolva problema: 2p+25kg=225kg 1p=lOOkg zahar sare |
Aprecieri asupra desenarii schemei si rezolvarii problemei Evaluare individuala asupra rezolvarii problemei |
|
6.Evaluarea cunostintelor |
Ii voi intreba pe elevi care sunt etapele rezolvarii problemelor prin |
Elevii raspund la intrebare. |
|
metoda grafica. | ||||
|
7. Asigurarea procesului de retentie |
Voi da tema pentru acasa si indicatiile necesare. |
Elevii isi noteaza tema si asculta indicatiile primite |
4.3 Teste de evaluare
clasa a-III-a
1.Efectueaza:
4x6=____ 5x8=____ 3x2=____
7x8=____ 9x5=____ 3x7=____
4x7=____ 6x2=____ 6x9=____
Se dau numerele 6 si 9.Calculati:
a)produsul numerelor;
b)suma dintre produsul si diferenta acestora;
c)diferenta dintre produsul si suma acestora.
3.Completati casutele, astfel incat egalitatile sa fie adevarate:
3x6=____x2 6x___=9x4
8x3=____x4
4.Notati intre parantezele din dreptul fiecarei relatii cu A(adevarat) sau F(fals)situatia corespunzatoare fiecareia:
6x4 < 3x8 (___) 9x5 < 6x8 (____)
8x9 < 9x9 (____)
5.La 45 adaugati triplul lui 9 si dublul lui 5.
6.Pe bradul de Craciun sunt 9 globuri rosii, de 2 ori mai multe globuri aurii,iar globuri albe cu 5 mai putine decat cele aurii. Cate globuri sunt in total pe brad?
Rezolvare
Descriptori de performanta:
|
Calificativ
Itemi |
F.B. |
B. |
S. |
|||
|
I1 |
Rezolva corect exercitiile; se admite o greseala |
Rezolva corect exercitiile, se admit 3 greseli |
Rezolva corect exercitiile, se admit 6 greseli |
|||
|
I2 |
Rezolva corect cerintele a, b, c-se admite o greseala de calcul |
Rezolva corect cerintele a, b, c-se admit 2 greseli de calcul |
Rezolva corect cerintele a ,b ,c-se admit 3-4 greseli de calcul |
|||
|
I3 |
Rezolva corect exercitiile |
Rezolva corect 2 dintre exercitii |
Rezolva c |
|||
|
I4 |
Rezolva corect toate exercitiile |
Rezolva corect doua dintre exercitii |
Rezolva corect un exercitiu |
|||
|
I5 |
Rezolva corect cerinta |
Afla corect dublul si triplul numerelor date |
Afla corect dublul sau triplul numerelor date |
|||
|
I6 |
Rezolva problema, afland toate necunoscutele |
Rezolva problema, afland doua dintre necunoscute |
Rezolva problema afland o necunoscuta |
Proba de evaluare sumativa
clasa a-II-a
245+ 567+ 398+
a + 123 = 458 a - 765 = 189 900 - a = 197
a = a = a =
a = a = a =
v: v: v:
(+) (-)
(-) (+)
(-) (+)
5.Primul termen al unei adunari este 124. Al doilea este cu 30 mai mic. Al treilea este cel mai mic numar de 3 cifre. Aflati suma celor 3 termeni.
Descriptori de performanta:
|
Obiectivul |
F.B |
B. |
S. |
|
1. |
Calculeaza corect suma si diferenta a 2 numere naturale in concentrul 100 - 1000, cu si fara trecere peste ordin. |
Calculeaza corect sumele, cu mici greseli de neatentie la aflarea diferentelor in exercitiile cu trecere peste ordin. |
Calculeaza corect sumele si diferentele in exercitiile fara trecere peste ordin. |
|
Descopera corect numarul necunoscut, respectand algoritmul invatat si verificand. |
Respecta algoritmul invatat, verifica, cu unele erori de calcul. |
Descopera corect termenul adunarii, cu erori in aflarea descazutului si a scazatorului. |
|
|
3. |
Calculeaza corect, verificand rezultatul obtinut in 3 moduri. |
Calculeaza corect, verificand rezultatul obtinut in 2 moduri. |
Calculeaza, verificand rezultatul intr-un mod. |
|
4. |
Descopera rapid numere de la 100 la 1000, pe baza cerintelor date; efecueaza corect operatiile cu numerele gasite. |
Descopera numere in functie de cerinte; mici erori la calcul. |
Descopera doar 1 numar din cele cerute. |
|
5. |
Rezolva corect problema cu 2 operatii, scriind intrebarile, operatiile si raspunsul. |
Rezolva corect problema, scriind operatiile si raspunsul problemei. |
Rezolva o operatie a problemei. |
CAPITOLUL 5
CONCLUZII
Activitatea de rezolvare si compunere a exercitiilor si problemelor de matematica constituie un cadru optim pentru cultivarea si educarea gandirii logice.
Capacitatea de a rezolva probleme nu este ceva innascut ci aceasta se dezvolta prin exercitiu de-a lungul unei perioade mai lungi. De aceea atunci cand utilizam rezolvarea de probleme ca metoda de apreciere a performantelor elevilor trebuie sa incepem cu activitati simple insa nu banale. De aceea cand proiectam probleme trebuie sa tinem cont de cateva cerinte:
- problema trebuie sa se bazeze pe repertoriul de raspunsuri a celui caruia i se adreseaza;
- sa se precizeze corect resursele materiale si cognitive aflate la indemana elevului;
- evaluarea raspunsurilor se va face in raport cu verbele folosite in enunt si acestea trebuie sa exprime actiuni sau comportamente masurabile.
Voi cauta sa formez la elevi o gandire logica in mod diferentiat, cu exigente elementare pentru elevii cu un nivel de inteligenta mai scazut si cu exigente sporite pentru elevii mai dotati.
Spiritul creator al elevului poate fi educat, iar creativitatea se formeaza prin invatare sau modelarea creativa. Gandirea logica se educa printr-o gandire divergenta, o gandire orientata in directii diferite.
Atributele gandirii divergente sunt: fluiditatea, flexibilitatea, operativitatea, originalitatea.
Voi asigura accesibilitatea activitatilor matematice in conceperea lor gradata si sistematica pe fondul unor fenomene psihice dinamizatoare ca: pasiunea, curiozitatea, nevoia de activitate a copiilor. Variatia permanenta, combinarea noua si originala, asigura abaterea de la schematism si franeaza instalarea rigiditatii gandirii.
Elevii trebuie invatati sa caute mereu solutii, sa-si puna intrebari, sa-si imagineze cai multiple de rezolvare a exercitiilor si problemelor.
Elevul manifesta in mod spontan o curiozitate si o receptivitate vie, imaginatie bogata, tendinte spre activitatea de investigare, particularitati legate de mobilurile unei activitati logice.
La clasele primare, gandirea elevilor este dominata de concret, perceptia lucrurilor globala, ei putand efectua anumite rationamente doar cu conditia sprijinirii pe aceste obiecte concrete.
Un camp fertil pentru cultivarea acestor disponibilitati ale copilului il constituie jocul didactic.
Modul de evaluare si atitudinea cadrului didactic fata de solutiile originale, logice, pot frana sau incuraja activitatea elevilor.
Important este faptul ca elevul trebuie sa simta ca realizeaza progrese, ca performantele sale au o anumita utilitate si semnificatie, ca poate deveni capabil de performante originale.
Activitatea de rezolvare de probleme trebuie sa aiba la baza o serie de cerinte si anume:
Obtinerea rezultatelor pe cai clare si verificabile si utilizarea unor metode active de rezolvare.
BIBLIOGRAFIE:
1.Florin Carjan; Carmen Begu
,,Metodica predarii matematicii la ciclul primar' Editura Paralela 45, Vol. I, 2001.
Antohe Valerian; Gheorghinoiu Constantin; Obeada Monica ,,Metodica predarii matematicii' Editura Ex. Libris, Braila, 2002
3.Banea H - ,,Metodica predarii matematicii' Editura Paralela 45, Pitesti, 1998.
4.Carjan F. - ,,Strategii euristice in didactica matematicii' Editura Paralela 45, Pitesti, 1999
5.'Invatamantul primar 4/2000',Editura Discipol, Bucuresti, 2000
6.Ion Neacsu (coordonator)
,,Metodica predarii matematicii la clasele I-IV' E.D.P., Bucuresti, 1988
7.Constantin Carbunaru; George Ilinoiu (coordonator)
,,Probleme de matematica la clasele I-IV' E.D.P., Bucuresti, 1988
8.Ion Petrica; Vasile Stefanescu.
,,Probleme de matematica clasele I-IV ' Editura Petrion, Bucuresti.
9.George Polza - ,,Descoperirea in matematici. Euristica rezolvarii problemelor', Editura stiintifica, 1971
10.Jean Piaget - ,,Structurile matematice si structurile operatorii ale inteligentei'
E.D.P., Bucuresti, 1971 in ,,Caiete de pedagogie moderna nr. 3.'
11 .Zorgo Benianim - ,,Creativitatea, modele, programare.' Editura stiintifica, Bucuresti, 1971.
1 Invatamantul primar 1/2000' , Editura DISCIPOL
Rusu Eugen - Atrectia pentru problematic in activitatea matematica, Bucuresti, Rev. de pedagogie nr. 1, 1965
Al. Rosca - Conditiile dezvoltarii felxibilitatii si creativitatii gandirii, Ed. Stiintifica, Bucuresti, 1967
Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate
