Polinomul Taylor asociat unei functii

Polinomul Taylor asociat unei functii

Consideram functia si , oarecare, dar fixat. Presupunem ca functia este de clasa intr-o vecinatate . Atunci polinomul

, . (7.1)

se numeste polinomul Taylor[1] de grad asociat functiei in punctul .

De exemplu, daca este un polinom de gradul , atunci polinomul Taylor asociat lui are gradul si reprezinta dezvoltarea polinomului dupa puterile lui . Avem

. (7.2)

Vom observa ca si .

Formula lui Taylor in care dezvoltarea se face dupa puterile lui (), adica are loc reprezentarea

, (7.3)

este numita formula lui MacLaurin .

In particular, consideram polinomul . Se cere sa se dezvolte dupa puterile lui . Fie , , functia polinomiala asociata lui . Avem

;

;

;

.

Polinomul Taylor de gradul al treilea asociat functiei polinomiale are forma

. (7.4)

Exercitii.

Fie . Sa se dezvolte dupa puterile lui .

Sa se scrie polinomul Taylor de gradul al treilea asociat lui , in punctul .

Sa se scrie polinomul Taylor de gradul al patrulea asociat functiei, in .

Fie . Sa se scrie polinomul Taylor de gradul asociat functiei in .

Sa se scrie polinomul Taylor de gradul asociat functiei , in punctul .

Sa se calculeze si stiind ca este functie polinomiala de gradul al patrulea determinata de conditiile: ; ; si .

Formula lui Taylor pentru functii de o variabila reala

Fie un interval inchis, nedegenerat in si functia care verifica conditiile:

1). (exista derivatele pana la ordinul inclusiv si acestea sunt functii continue pe );

2). exista (derivata de ordinul a lui ), finita sau infinita, in orice punct din ;

Atunci exista astfel incat

, (7.5)

unde reprezinta restul care se obtine, in punctul , cand inlocuim valoarea cu valoarea a polinomului Taylor de grad asociat lui .

Mai mult, restul poate fi scris sub una din formele:

a) restul sub forma lui Lagrange,

. (7.6)

b)        restul sub forma lui Cauchy

(7.7)

c)         restul sub forma integrala

. (7.8)

Demonstratie. Alegem restul sub forma , unde este o constanta care va depinde de alegerea lui , iar oarecare. Atunci problema se reduce la determinarea constantei a.i.

.

Consideram functia , definita pentru orice prin relatia

.

Vom observa ca functia este continua pe deoarece functia initiala a fost presupusa de clasa pe . In plus, pentru din formula () obtinem si pentru deducem . Functia este derivabila pe intervalul deschis deoarece a fost presupusa de clasa pe . In consecinta, functia satisface conditiile teoremei lui Rolle pe intervalul . Asadar, exista un punct , a.i. . Alegem cu .

Avem

.

Dupa reducerea termenilor asemenea, rezulta

.

Deoarece , din ultima relatie, pentru , obtinem

.

Deci, si atunci gasim urmatoarea expresie a restului

, cu . (7.9)

Vom observa ca restul obtinut depinde de , unde este un numar natural oarecare.

Daca alegem atunci din ultima relatie obtinem restul sub forma lui Lagrange (7.6), iar pentru obtinem restul sub forma lui Cauchy (7.7).

Observatie. Presupunand ca , atunci restul sub forma lui Lagrange devine

,

unde

,

cand . Aici am folosit faptul ca este functie continua si atunci

, cand .

In consecinta, daca atunci

, cand . (7.10)

Formula (7.10) este cunoscuta sub numele de formula lui Taylor corespunzatoare lui in punctul cu restul sub forma lui Peano .

In continuare vom arata ca restul formulei lui Taylor poate fi scris sub forma integrala (7.8), adica are loc formula

.

Pentra aceasta folosim inductia matematica dupa .

Pentru obtinem formula care evident este adevarata.

Presupunem ca formula este adevarata pentru , atunci putem scrie

.

Integrand prin parti expresia restului, obtinem

.

Asadar, avem

,

de unde deducem ca formula ramane adevarata si pentru pasul , deci relatia este adevarata pentru orice .

Observatie. Formula lui Taylor ramane adevarata daca , un interval nedegenerat si este de derivabila intr-un punct deoarece prin aceasta conditie intelegem ca este de derivabila intr-o vecinatate a punctului si si exista derivata de ordinul in .

Observatie. Formula lui Taylor cu restul sub forma integrala are numeroase aplicatii. De exemplu, in cazul functiilor suficient de netede, aceasta formula serveste la evaluarea restului in formulele de cuadratura numerica (integrare numerica).

Aplicatii ale formulei lui Taylor la dezvoltarea functiilor elementare.

Fie . Deoarece putem scrie

unde .

In consecinta, formula lui Taylor scrisa dupa puterile lui (dezvoltarea are loc in jurul punctului ), corespunzatoare functiei , cu restul lui Lagrange se scrie

, (7.11)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

. (7.12)

si putem scrie extimarile:

a) pentru orice , avem .

b) pentru orice , avem .

Fie , . In acest caz si avem

,

In consecinta, formula lui Taylor dupa puterile lui (in polinomul Taylor apar numai puterile pare ale lui ) poate fi scrisa astfel

, (7.13)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

. (7.14)

Putem scrie extimarea.

Fie , . Atunci si avem

,

Atunci putem scrie formula lui Taylor dupa puterile lui (in dezvoltare apar numai puterile impare ale lui )

, (7.15)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

. (7.16)

Din formula (7.16) deducem evaluarea.

Fie . Atunci si pentru orice avem

Atunci formula lui Taylor dupa puterile lui devine

, (7.17)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

. (7.18)

Daca din formula (7.18) obtinem. Daca atunci nu putem trage concluzii despre modul cum restul tinde catre zero deoarece alegerea lui depinde atat de cat si de . Folosind restul sub forma lui Cauchy,

, (7.19)

pe baza inegalitatilor inegalitatile , respectiv , putem scrie evaluarea

.

Daca , atunci formula lui Taylor poate fi scrisa dar restul nu tinde catre zero cand .

Observatie. Daca in formula (7.17) schimbam cu si cerem ca obtinem dezvoltarea functiei dupa puterile lui :

, (7.17')

Fie functia .

a)      Analizam cazul cand . Atunci functia este bine definita

pentru orice si admite derivate de orice ordin pe . Cum derivata de ordinul este identic nula deducem ca si avem

Atunci pentru dezvoltarea functiei folosim binomul lui Newton

, pentru orice . (7.20)

b)      Pentru cazul cand nu este numar natural, atunci functia este bine definita,

impreuna cu toate derivatele sale de orice ordin, pentru orice . Asadar, pentru putem scrie formulele

si formula lui Taylor, scrisa in jurul punctului , devine

, (7.21)

unde restul sub forma lui Lagrange are expresia

. (7.22)

Daca si atunci restul tinde la zero cand . In cazul cand , folosind restul sub forma lui Cauchy

. (7.23)

deducem ca restul tinde la zero cand . Pentru restul nu tinde catre zero cand .

8. Serii Taylor

Fie functia si , oarecare, dar fixat. Presupunem ca functia este indefinit derivabila intr-o vecinatate (functia admite derivate de orice ordin intr-o vecinatatea a punctului ). Atunci putem scrie formal seria Taylor asociata functiei in punctul

, . (8.1)

sau seria de puteri a lui dupa puterile lui . Pentru valori fixate ale lui si seria poate fi convergenta sau divergenta.. In cazul cand seria Taylor asociata functiei este convergenta atunci suma seriei este egala cu .

Seria Taylor este convergenta catre functia daca si numai daca restul formulei lui Taylor

, , (8.2)

tinde la zero cand . Altfel spus, daca , atunci din (8.2) rezulta ca sirul sumelor partiale

(8.3)

converge uniform catre pentru orice si reciproc (vezi, siruri de functii).

In acest caz vom spune ca seria Taylor este convergenta avand suma si vom scrie

. (8.4)

Toate functiile analizate in exemplele sunt dezvoltabile in serie Taylor dupa puterile lui (sau, dezvoltabile in serie in jurul punctului ) si avem:

. (8.5)

. (8.6)

. (8.7)

. (8.8)

,. (8.9)

Exercitiul 1. Sa se dezvolte in serie Taylor in jurul punctului functia .

Indicatie. Fie . Pentru calculul derivatelor de ordin superior ale lui folosim

identitatea: . Deducem si ,

In consecinta, obtinem seria Taylor

.

Formula lui Taylor poate fi utilizata la calculul "elegant" al unor limite de functii, in cazurile de nedeterminare de tipul etc..

Exemple

1). .

.

.

Calculati integrala cu o precizie mai mica decat . Avem

.

Calculati limitele (i). (ii)..

(iii). ; (iv). .

Observatie. Exista functii de clasa pe care nu sunt dezvoltabile in serie Taylor.

De exemplu, functia , definita prin , unde sunt polinoame, , este de clasa pe , insa nu este dezvoltabila in serie Taylor in jurul punctului .

Demonstratie. Aratam ca este functie continua pe . Intr-adevar, prin definitie, functia este continua pentru . In punctul putem scrie

si .

Deci este continua pe si .

Aratam ca si Intr-adevar, pentru avem

,

unde sunt polinoame, si .

Daca atunci . Asadar, derivata in exista si este egala cu zero. Rezulta ca este diferentiabila pe si derivata are aceeasi forma cu . Prin recurenta deducem ca este diferentiabila si are aceeasi forma cu , deci si avem .

Analog se arata ca functia este de clasa pe si nu este dezvoltabila in serie Taylor in jurul punctului .

9. Extreme libere. Maxime si minime relative

Definitie. Fie un spatiu metric si . Punctul se numeste punct de maxim relativ pentru (sau, functia are in punctul un maxim relativ) daca exista o vecinatate , a.i. .

In aceleasi conditii ca mai sus, punctul se numeste punct de minim relativ pentru (sau functia are in punctul un minim relativ) daca exista o vecinatate , a.i. .

Daca proprietatile din definitie au loc pentru orice , atunci punctul se numeste extrem absolut (global) care poate fi un maxim absolut, respectiv un minim absolut.

Teorema lui Fermat . Fie un interval deschis si , . Daca este punct de extrem local pentru (maxim sau minim local) si este diferentiabila in , atunci .

Demonstratie. Vom presupune ca este punct de maxim local. Atunci exista o vecinatate in , a.i. pentru orice . Deoarece este diferentiabila in , rezulta ca exista si deci,

si .

Cum, si , atunci, datorita egalitatii anterioare, deducem .

Observatie. Conditia este o conditie necesara ca sa fie un punct de extrem local, dar in general nu este si suficienta. De exemplu, fie functia . Atunci derivabila pe si desi nu este punct de extrem local.

Teorema. Fie si . Presupunem ca exista intervalul a.i. , diferentiabila pe si iar . Atunci este punct de maxim local pentru .

(Enuntati teorema in cazul cand punctul este minim local).

Demonstratie. Deoarece pe , atunci . Din relatia pe , rezulta ca .

In concluzie, avem care arata ca este un maxim local pentru .

Teorema lui Cauchy. Fie un interval oarecare (nu se precizeaza natura intervalului), si , avand proprietatile:

i)            functiile sunt diferentiabile in ;

ii)          ;

iii)        ;

atunci exista o vecinatate , continuta in , a.i. si avem

.

Demonstratie. Fie si (in cazul cand , atunci luam). Daca si , atunci putem scrie , deci exista o vecinatate a lui continuta in a.i. pentru orice sa avem . Cum , rezulta ca . Avem

.

Exemplu. Consideram functile si .

Atunci , este functie diferentiabila pe si , iar este diferentiabila in si . Asadar, conditiile teoremei lui Cauchy sunt verificate si avem

.

Lema. Fie un interval oarecare (nu se precizeaza natura intervalului), , o functie de diferentiabila in , . Atunci exista a.i. functia este continua in , si sa avem egalitatea:

, (9.1)

pentru orice .

Demonstratie. Definim functia

Aratam ca este functie continua in , adica .

Pentru avem . Aplicand teorema lui Cauchy, deducem, pentru , ca .

Pentru avem .

Se verifica, relativ usor, ca functiile care apar in acest raport satisfac conditiile teoremei lui l'Hospital si deci, exista limita si avem .

Pentru calculul acestei limite vom observa ca sunt indeplinite conditiile teoremei lui Cauchy. Atunci, deducem

.

In cazul general, aplicand de teorema lui l´Hospital, deducem

.

Apoi, aplicand teorema lui Cauchy, obtinem , deci functia este continua in .

Teorema. Fie un interval deschis, , o functie de diferentiabila in , si , iar . Atunci

1). Daca este numar par, atunci este punct de extrem local pentru si avem:

i). daca , atunci este punct de maxim local;

ii). daca , atunci este punct de minim local.

2). Daca este numar impar si , atunci nu este punct de extrem local pentru .

Demonstratie. Conform lemei, exista , functie continua in , , a.i.

oricare ar fi .

Consideram functia , . Din felul cum a fost definita functia este continua in si . Presupunem , atunci exista o vecinatate care este continuta in , a.i. .

Fie numar par. Atunci , deci pentru orice si este punct de minim local pentru .

Fie numar impar. Deoarece s-a admis ca , atunci avem si din relatia , rezulta ca diferenta nu pastreaza semn constant. In adevar, deoarece pentru putem considera situatia si atunci avem , iar pentru si , avem .

Exerctiul 1. Aratati ca functia are un minim local in punctul .

Solutie. Determinam punctele critice ale lui (acestea sunt radacinile ecuatiei ). Avem si deci, este singurul punct critic. Incercam sa vedem, cu ajutorul derivatei de ordinul al doilea, daca acest punct critic este un extrem local. Avem si deci .

In acest caz nu putem preciza natura punctului critic si de aceea, studiem semnul derivatei de ordin minim, care nu se anuleaza in acest punct. Asadar, calculam derivatele de ordin superior. Obtinem . Prin urmare, in punctul critic avem:

si ,

deci, punctul critic este un punct de minim local.

Exerctiul 2. Determinati punctele de extrem local si valorile extreme ale functiei

.

Solutie. Punctele critice ale lui sunt radacinile ecuatiei . Avem . Deci, si sunt singurele puncte critice. Fie . Deoarece rezulta ca este punct de minim local si valoarea minima a lui este . In punctul critic avem si nu putem decide natura acestui punct critic. Observam ca , deci punctul nu este extrem local. Acesta este punct de inflexiune (vezi fig. 1)

Figura 1.