Reducerea ecuatiei unei cuadrice la forma canonica

Cuadrice cu centru (unic la distanta finita)

Consideram o cuadrica cu centru (d

unde : (49)

f(x,y,z)=a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2(a₁₂xy+a₁₃xz+a₂₃yz)+

+2(a₁₀x+a₂₀y+2a₃₀z)+a₀₀ (50)

Notam cu f forma asociata formei patratice afine f:

j(x,y,z)= a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2(a₁₂xy+a₁₃xz+a₂₃yz)    (51)

Fie C(x₀,y₀,z₀) centrul cuadricei. Coordonatele lui, (x₀,y₀,z₀), sunt solutia sistemului:

sau, scrise explicit,

(a_ij=a_ji) (52)

Efectuand translatia , de ecuatii:

(53)

ecuatia (4) devine:

(54)

sau tinand seama de expresia (32) a lui f, aceasta se scrie:

(55)

Folosind metoda valorilor propii obtinem pentru f expresia canonica:

(56)

l l l fiind solutiile ecuatiei caracteristice:

(56')

Ecuatia (35) a cuadricei devine:

(57)

fata de un reper ortonormat CXYZ format cu vectori proprii ortonormati corespunzatori valorilor proprii l l l

Reperul Cx'y'z' devine CXYZ in urma unei rotatii R. Directiile noilor axe de coordonate sunt date de directiile versorilor proprii (ce corespund respectiv valorilor propii l l l

Daca notam cu R matricea formata cu coordonatele versorilor asezate pe coloane in urma unei eventuale renumerotari a valorilor proprii, avem: det R=+1.

Ecuatia canonica (57) se obtine din (49) in urma rotatiei:

(58)

Ecuatia (57) a cuadricei reprezinta un elipsoid sau hiperboloid (cu una sau doua panze) dupa semnele coeficientilor l l l k. Pentru k=0 ecuatia (57) reprezinta un con cu varful in origine.

Cuadrice fara centru

In acest caz d=0 si nu putem efectua o astfel de translatie incat sa dispara termenii de gradul I din ecuatia cuadricei. Vom trece insa la un reper ortonormat in care forma patratica f este redusa la suma de patrate deoarece l l l una din radacinile ecuatiei (56') este nula: presupunem l =0 si l l 0. In acest reper ecuatia cuadricei devine:

(58)

Daca a'₃₀=0 ecuatia (58) este numai in doua necunoscute (numai in x si y lipseste z) deci reprezinta o suprafata cilindrica.

Daca a'₃₀ =0 si ecuatia (58) se scrie:

(59)

deci cilindrul (59) degenereaza in doua plane concurente (reale daca l l <0 si imaginare daca l l >0).

Daca a'₃₀ 0 efectuam translatia:

x'=x₀+X y'=y₀+Y z'=z₀+Z (60)

in urma careia ecuatia (58) devine:

(61)

alegand:

ecuatia (61) devine:

(62)

deci cuadrica este un paraboloid (eliptic sau hiperbolic dupa semnele coeficientilor l si l

Presupunem acum ca doua valori proprii sunt nule: l =0 si l l 0. Atunci ecuatia cuadricei (58) in reperul Ox'y'z' este

(63)

(64)

Efectuand roto-translatia (rotatie in jurul Ox' compusa cu o translatie a reperului in punctul

(65)

ecuatia (46) devine:

(48)

unde: (66)

Ecuatia (66) este numai in doua necunoscute deci reprezinta un cilindru.

Daca in ecuatia (66) avem atunci nu mai este nevoie de roto translatia (65) intrucat aceasta ecuatie este canonica:

(68)

deci este cuadrica formata din doua plane paralele (sau confundate daca a'₀₀=0). In concluzie, daca d 0 cuadrica este un elipsoid, hiperboloid sau con iar daca d =0 cuadrica este un paraboloid, cilindru sau pereche de plane.

Exemplu:

Sa se aduca la forma canonica ecuatiile urmatoarelor suprafete de ordinul al doilea:

1) f(x, y, z)=x²+5y²+z²+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0

2) f(x, y, z)=2x²+y²+2z²-2xy-2yz+x-4y-3z+2=0

Rezolvare.

1) Matricile A si D asociate cuadricei sunt:

Avem d=|A|=-36, D

deci cuadrica este nedegenerata cu centrul unic. Ecuatia caracteristica det(A-lI)=0 este . Radacinile ei (si totodata valorile proprii ale matricii A) sunt l l l =6 deci ecuatia canonica a cuadricei este in acest caz: -2x²+3y²+6Z²-1=0 iar ecuatia ei redusa (normala ) este:

deci cuadrica este un hiperboloid cu o panza.

Rezolvand sistemul f_x=0, f_y=0, f_z=0 gasim coordonatele centrului:

Pentru fiecare valoare proprie l_i (i=1, 2, 3) se rezolva sistemul

(69)

si se obtin vectorii proprii ai matricii A. Astfel, pentru l =-2 ecuatia matriciala (69) devine:

Acest sistem este echivalent cu sistemul:

care are solutiile: x₁=1, x₂=0, x₃=-1.

Vectorii proprii principali corespunzatori lui l =-2 sunt de forma:

Versorul propriu este versorul axei Ox'.

Pentru l =3 obtinem vectorii proprii de forma:

deci versorul axei Oy' poate fi ales .

Valorii proprii l =6 ii corespund vectorii proprii:

deci versorul axei Oz'poate fi ales

Verificam daca matricea formata cu coordonatele versorilor (dispuse pe coloanele 1, 2, 3 respectiv) prezinta o rotatie.

Intrucat det R=-1 in loc de +1, matricea ortogonala R nu reprezinta o rotatie. E suficient sa schimbam pe adica: , deci matricea rotatei este:

Rezulta ca pentru reducerea la forma canonica efectuam roto-translatia:

2) Procedand analog ca la prima etapa, gasim l l l =0. Formulele transformarii de coordonate sunt:

Ecuatia canonica a suprafetei este:

(paraboloid eliptic)

Ecuatia redusa (normala) a suprafetei se obtine impartind cu 6:

3. Suprafete riglate

Definitia 2 Se numeste suprafata riglata o suprafata care poate fi generata prin miscarea unei drepte D care se sprijina pe o curba .

Fig.13

Dreapta D (fig 13) se numeste generatoarea suprafetei riglate

O dreapta D ce trece printr-un punct P₀ si are directia b are ecuatia vectoriala:

(70)

Avand in vedere ecuatia (70) a dreptei, rezulta ca o suprafata riglata S poate fi parametrizata sub forma:

(71)

cu conditia unde si sunt derivatele partiale ale functiei

in raport cu u si v, respectiv.

Suprafete cilindrice

Definitia 3 Se numeste suprafata cilindrica o suprafata

riglata a carei generatoare ramin paralele cu ea insasi.

Fig 14

Curba pe care se sprijina dreapta D se numeste curba directoare

(fig 14). O parametrizare a suprafetei cilindrice este urmatoarea:

(72)

unde este un vector de coordonate constante.

Teorema 1. Fie G generatoarea unei suprafete cilindrice S unde G || D, dreapta D fiind data ca intersectia a doua plane: P_i : A_i x+B_iy+C_iz+D_i=0, i=1,2 si curba directoare G:F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0. Ecuatia suprafetei cilindrice astfel generata este de forma:

S : F(p₁,p₂)=0,    (73)

unde p_i=A_ix+B_iy+C_iz+D_i, i=1,2 (74)

Demonstratie. Generatoarea G se afla la intersectia a doua plane paralele cu P₁ si P₂, deci este reprezentata analitic de ecuatiile:

(75)

Conditia ca generatoarea G sa se sprijine pe curba G se obtine eliminand pe x,y,z intre ecuatiile 75 ale generatoarei si ecuatiile F(x,y,z) =0, G(x,y,z)=0, ale curbei G. Se deduce:

(76)

Considerand acum un punct arbitrar M(x,y,z) de pe suprafata cilindrica S, deci apartinand lui G, aceasta verifica sistemul:

(77)

Eliminand pe l si m din 77 obtinem ecuatia implicita a suprafetei:

S : F(p₁,p₂)=0

Observatii:

Daca curba directoare G este data parametric,

G : x=x(t), y=y(t), z=z(t), tII (78)

atunci relatia de compatibilitate 76. se obtine eliminand pe x,y,z si t din ecuatiile 75 ale lui G, si ecuatiile 78 ale lui G

2) Suprafata cilindrica S cu generatoarea G || Oz se poate reprezenta printr-o ecuatie in doua variabile: S : f(x,y)=0

Exemplu. Sa se scrie ecuatia cilindrului cu generatoarele paralele cu Oz, a carei curba directoare este elipsa:

z=0

Cum Oz are ecuatiile x=0, y=0, generatoarea G este G : x=l, y=m cu . Conditia ca conduce (prin eliminarea lui x,y,z din ecuatiile lui G si G) la urmatoarea conditie de compatibilitate:

Eliminand acum pe l si m din aceasta relatie si ecuatiile generatoarei obtinem ecuatia cilindrului eliptic:

Suprafete conice

Definitia 4. Se numeste suprafata conica suprafata riglata S ale carei generatoare trec printr-un punct fix V numit varful conului.

In acest caz ecuatia (61) a suprafetei riglate devine:

(79)

unde este vectorul de pozitie al varfului V al conului, deci are coordonatele constante.

Teorema 2 Daca varful V al suprafetei conice S este dat ca intersectia a trei plane, adica: V:p_i=0, i=1,2,3, unde p_i=A_ix+B_iy+C_iz+D_i, (i=1,2,3), atunci multimea S= este caracterizata analitic printr-o ecuatie de forma:

(80)

Demonstratie.

Conditia de incidenta dintre generatoarea G si curba directoare G:F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0 asigura compatibilitate sistemului format de ecuatiile generatoarei G si ale curbei directoare G. In cazul conului, din conditia ca VIG, rezulta ca G se afla la intersectia a doua plane variabile care trec prin V, adica:

(81)

Eliminand pe x,y,z din ecuatiile lui G si ale curbei directoare G se obtine ecuatia:

(82)

Eliminand pe l si m din (81) si (82) se obtine ecuatia suprafetei conice:

Observatii:

1) Daca G : x=x(t), y=y(t), z=z(t), tIR atunci conditia de compatibilitate (82) se obtine eliminand pe x,y,z, si t din ecuatiile lui G, (81) si ecuatiile lui G

2) Daca relatia de compatibilitate (82) este un polinom (in l si m) atunci ecuatia conului, (80), dupa eliminarea numitorului devine:

g(p₁,p₂,p₃)=0 (83)

unde g este un polinom omogen in cele trei polinoame de gradul intai, p_i.

3) Daca varful V este dat prin coordonate V(x₀,y₀,z₀), atunci generatoarea G a conului este data de sistemul (81) unde p₁=x-x₀, p₂=y-y₀, p₃=z-z₀, iar ecuatia conului (82), devine:

(80')

Daca f este un polinom in cele doua caturi de polinoame, aducand la acelasi numitor, obtinem:

S : g(x-x₀, y-y₀, z-z₀)=0 (83')

unde g este un polinom in x-x₀, y-y₀, z-z₀.

In particular ecuatia:

S : x²+y²-z²=0

este cuadrica (conul de gradul doi) cu varful in O(0,0,0).

Suprefete conice cu plan director

Definitia 5 Se numeste conoid cu plan director suprafata generata de o dreapta G, paralela cu un plan fix P si care se sprijina pe o curba G si pe o dreapta D.

Teorema 3 Daca generatoarea G a conoidului cu plan director S este paralela cu planul P₁:p₁=0, dreapta fixa D are ecuatiile p₂=0 p₃=0 (unde p_i=A_ix+B_iy+C_iz+D_i, i=1,2,3), curba G : F₁(x,y,z)=0, F₂(x,y,z)=0, atunci conoidul are ecuatia:

(84)

Demonstratie.

Ecuatiile unei drepte care se sprijina pe D si este paralela cu planul P₁ sunt :

G : p₁=l, p₂=mp₃, l mI R    (85)

Din conditia de incidenta : rezulta compatibilitatea sistemului format de ecuatiile lui G si G. Eliminand pe x,y,z din acest sistem obtinem conditia de compatibilitate:

f(l m (86)

Eliminand pe l si m din ecuatiile lui G, (75) si relatia de compatibilitate (76), obtinem ecuatia conoidului cu plan director:

Suprafete de rotatie

Definitia 6 Suprafata generata de o curba G care se roteste, fara sa alunece, in jurul unei drepte fixe D se numeste suprafata de rotatie. Dreapta D se numeste axa de rotatie, iar curba G curba generatoare. Cercul G descris de fiecare punct de pe G se numeste cerc generator.

Teorema 4 Daca curba generatoare G are ecuatiile F₁(x,y,z)=0, F₂(x,y,z)=0, iar axa de rotatie D a suprafetei S este data canonic, , atunci ecuatia suprafetei de rotatie S este de forma:

S : f(lx+my+nz,(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²)=0,    (87)

Demonstratie.

Cercul generator G are centrul pe axa, se afla intr-un plan variabil perpendicular pe axa si sprijinindu-se pe curba fixa G are raza variabila (in general). El se afla la intersectia unei sfere cu centrul pe axa D (de exemplu in M₀(x₀,y₀,z₀)I D) si de raza variabila cercului generator sunt:

(88)

Conditia de incidenta confera sistemului format de ecuatiile lui G si ecuatiile lui G, proprietatea de compatibilitate pe baza careia eliminand pe x,y,z din acest sistem, obtinem conditia de compatibilitate:

f(l m (89)

Eliminand parametrii l si m intre ecuatiile lui G (78) si relatia de compatibilitate (79) obtinem ecuatia din enunt, (76) a suprafetei de rotatie.

Observatie.

Daca suprafata de rotatie are axa Oz, atunci cercul generator G are ecuatiile:

(90)

sau echivalent:

(91)